NDSolve решает это обыкновенное дифференциальное уравнение только «на полпути».

То, что вы требуете от численного решателя, невозможно по нескольким причинам.

1. Область определения ОДУ ограничена, решатель может нарушить границы

Непосредственная проблема, создающая вашу картину ошибки, заключается в том, что ваш ODE не определен вне$|y|\le e^{1/2}$. Численный решатель для$y'=f(x,y)$, особенно те, у которых внутренние шаги адаптивного размера, могут захотеть оценить функцию ОДУ$f$вне границ видимого решения, т. е. с$y$вне диапазона точного решения и с$x$вне заданного интервала интегрирования. Могут быть варианты ограничения домена$f$, такие как принуждение к позитиву, которые могут распространяться на эту ситуацию. Временной мерой здесь является расширение домена$f$постоянным продолжением, как в

$$y'^2=2\max(0,1-\ln(y^2))y^2.$$ Затем численный решатель останется на постоянном решении, как только оно будет достигнуто, и это правильно, поскольку это приближение одного из возможных точных решений этой задачи с начальным значением.

1.-2. Полный набор решений неявного ОДУ

В ненулевых корнях правой части

$$0=(1-\ln(y^2))\iff y=\pm e^{1/2},$$ ОДУ не является липшицевым, поскольку квадратный корень действует как вертикальный тангенс. Таким образом, единственность теоремы Пикара-Линделефа неприменима, непостоянные решения достигают этих значений. Можно по желанию вставлять сегменты этих постоянных решений в любое решение кривой Гаусса, чтобы собрать воедино дальнейшие точные решения неявного ОДУ.

2. Нет «вверх-вниз» в порядке 1 скалярного автономного ОДУ.

В любом явном автономном ОДУ$y'=f(y)$качественное поведение определяется корнями$f$и знак$f$в промежутках между корнями. Если знак положительный, то решение монотонно возрастает, если отрицательный, то монотонно убывает. Если ОДУ дифференцируема, то корни$f$дают стационарные, постоянные решения, и никакое другое решение не может пересекать их или даже достигать их. Если производная не ограничена в каком-то корне, то ОДУ в этой точке является жестким, что даст любые задачи численного решателя с решениями, приближающимися к этой точке. Тип задач также зависит от решателя: решатели с фиксированным шагом могут перешагнуть через эту точку с большими количественными и качественными ошибками, решатели с адаптивным шагом имеют тенденцию останавливаться, регулируя размер шага ниже машинного эпсилон.

3. Исправлен знак квадратного корня

При подготовке неявного ОДУ для численного решателя CAS должен сделать его явным. Здесь это включает в себя выбор знака квадратного корня. Как только этот знак выбран, он остается постоянным для всего процесса интеграции. Нужно было бы ввести какую-то обработку событий и определить подходящие события для изменения знака. Как это будет работать с данным синтаксисом Mathematica, я понятия не имею.

И, наконец, некое решение

А) Производные более высокого порядка могут служить своеобразной памятью

Выбор правильного знака корня зависит от поведения решения в предыдущих точках. Если член под квадратным корнем не равен нулю, то можно было бы выбрать положительный знак, если решение ранее увеличивалось, и отрицательный знак, если оно уменьшалось. Чтобы обойти все предположения, связанные с полиномами Тейлора, давайте просто возьмем производную от исходного ОДУ.

$$y'y''=-2yy'+(1-\ln(y^2))2yy'=-2\ln(y^2)yy',\ y(0)=1, \frac12y'(0)^2=1$$ а исключая постоянные решения, даже постоянные отрезки в решении можно делить на $y'$найти $$y''=-2\ln(y^2)y,\quad y(0)=1, y'(0)=\pm\sqrt2$$ Питоны scipy.integrate.odeintдля этой ODE второго порядка

def odefunc2(y,t): return [ y[1], -2*y[0]*np.log(y[0]**2) ]
sol2 = odeint(odefunc2,[ 1.0, 2**0.5],x)
plt.plot(x,sol2[:,0],'-b',x,sol2[:,1],'.g'); plt.grid(); plt.show()

приводит к кривой