Как математически описать квантовый пузырь?

«Вакуум заполнен квантовыми пузырями».

Точный технический смысл этого заключается в том, что вакуумная энергия (плотность) свободной и взаимодействующей квантовой теории поля различна, и что способ вычисления взаимодействующей вакуумной энергии в схеме, где свободная вакуумная энергия была перенормирована до нуля состоит в оценке всех «пузырьковых» диаграмм Фейнмана, т. е. диаграмм с нулевыми внешними ветвями. Это единственное значение этих пузырьковых диаграмм в настоящей квантовой теории поля. Утверждение «вакуум заполнен квантовыми пузырями» звучит впечатляюще, но мы должны воздерживаться от интерпретации какого-либо дополнительного значения этой фразы, как это, к сожалению, часто делают нетехнические представления КТП.

Технически это связано с тем, что сумма всех пузырьковых диаграмм представляет собой выражение$\langle 0\vert T\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\int H_I\mathrm{d}t}\vert 0\rangle$(любая вставка поля перед экспонентой будет соответствовать внешнему отрезку), который с помощью стандартных вычислений в картине взаимодействия (см., например, раздел 2.8.1 примечаний Вейганда по КТП [ссылка в формате pdf] ) пропорционален$\mathrm{e}^{-E_\Omega 2T}$, где$E_\Omega$есть (бесконечная) энергия взаимодействующего вакуума. Что действительно имеет значение в бесконечной Вселенной, так это плотность энергии , а не энергия, и оказывается, что плотность энергии$\rho_\Omega$дан кем-то

$$\rho_\Omega = \mathrm{i}\frac{\sum_j V_j}{\delta^{(4)}(0)},$$ где$V_j$— значения всех пузырьковых диаграмм с одной связной компонентой, освобожденных от инфракрасной расходимости вида$\delta(0)$. Это значение по-прежнему расходится в УФ-диапазоне и нуждается в перенормировке во всех порядках теории возмущений, как и плотность свободной энергии.

Обратите внимание, что ваше описание пузырьковых диаграмм как «На диаграмме Фейнмана это будет соответствовать замкнутой линии распространения одной частицы, кругу или пузырю» неверно. Единственный пропагатор — это не пузырьковая диаграмма, и на самом деле свободная теория, в которой есть только пропагаторы, вообще не имеет пузырьков. Пузырьковые диаграммы задаются путем рисования вершин взаимодействующей теории со всеми их линиями, соединенными с другими вершинами, и ни одной с внешней линией. Для$\phi^4$теории с одной 4-вершиной сумма всех пузырьков выглядит так: