Как мне перейти на релятивистскую вращающуюся систему отсчета?

Лучший способ описать вращающуюся систему отсчета — это простая замена координат. Если у вас есть описание явления в некотором наборе инерциальных координат$\{t, x, y, z \}$, то можно получить описание его движения во вращающейся системе отсчета с координатами$\{t', x', y', z'\}$сделав соответствующую замену. Например, если$\vec{\omega} = \omega \hat{z}$, то имеем

$$\begin{align} t &= t' \\ x &= x' \cos \omega t' - y' \sin \omega t' \\ y &= x' \sin \omega t' + y' \cos \omega t' \\ z &= z' \end{align}$$

Отличие в том, что теперь метрика уже не такая простая. Если мы возьмем дифференциалы всех приведенных выше членов и подставим их в метрику Минковского, мы получим

$$\begin{align} ds^2 &= - dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \\ &= -\left(1 - \omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) \right){dt'}^2 + 2 \omega (- y' dx' dt' + x' dy' dt') + {dx'}^2 + {dy'}^2 + {dz'}^2. \end{align}$$ В частности, это означает, что траектория массивного объекта в этих координатах легко может иметь$|d\vec{x}/dt| > 1$; другими словами, его координатная скорость будет больше, чем$c = 1$. Но если вычислить четырехскоростную$\eta^\mu$этого объекта, он по-прежнему будет времениподобным вектором (или, что то же самое,$ds^2 < 0$для ближайших точек вдоль его мировой линии.)

Что касается закона векторного преобразования, то тут немного больше проблем. Одна из основных проблем с выводом результата, который вы цитируете, заключается в том, что производная в инерциальной системе отсчета разбивается на производные по времени компонентов координат вектора по отношению к набору вращающихся базисных векторов и производных вращающихся базисных векторов сами себя. Более того, мы предполагаем, что эти базисные векторы постоянны относительно пространства и времени; другими словами, единичный вектор в$x'$-направление в точке А совпадает с единичным вектором в$x'$-направление в точке B. Но вы можете видеть, что определение набора базисных векторов будет проблематичным во вращающейся системе отсчета; вектор, который указывает на$t'$-направление изменится со времениподобного на пространственноподобное, когда мы пересечем границу$\omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) = 1$, так что мы никак не могли бы превратить это в постоянный вектор.

Это не означает, что мы не можем заниматься динамикой частиц во вращающейся системе отсчета, даже для релятивистского движения. Лучше использовать лагранжев подход, согласно которому частица, перемещающаяся между двумя событиями в пространстве-времени, будет экстремировать собственное время вдоль своей траектории:

$$\tau = \int \sqrt{ - ds^2}.$$ Во вращающейся системе отсчета это можно записать как $$\tau = \int \sqrt{ \left(1 - \omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) \right) + 2 \omega (- y' \dot{x}' + x' \dot{y}') - (\dot{\vec{r}'})^2 } dt'$$ и мы можем найти систему уравнений Эйлера-Лагранжа для$\vec{r}'(t')$которые экстремумируют этот интеграл обычным образом. Это был бы самый простой способ обобщить силу Кориолиса и центробежную силу в релятивистском контексте.

Лучше всего начать с книги по физике и посмотреть на различные выражения для волнового уравнения. Простейшей и основополагающей для изобретения специальной теории относительности является форма без коэффициентов для дифференциалов. Теперь найдем волновое уравнение, выраженное в сферических координатах. У нас есть коэффициенты, соответствующие преобразованию, требуемому преобразованием координат. Поймите, что «объективный наблюдатель» никогда не стоит на месте, а сам движется вдоль линии времени. Но у любого наблюдателя есть своя собственная система отсчета «собственного времени», которую он может считать стационарной, даже если другие наблюдатели не видят ее таковой.

Это основа общей/специальной теории относительности и тензорного анализа. Сначала количество должно быть выражено в форме без координат (тензор), а затем оценено в некоторой системе отсчета; обычно «в покое». Затем вы применяете преобразования координат, чтобы привести тензор к нужной системе отсчета. Сложность возникает из-за того, что обычно приходится включать «время» в качестве координаты на равном (более или менее) основании с компонентами пространства. Возьмем вращающийся спутник: у него несколько систем отсчета; относительно геостационарных координат, относительно его внутреннего инерционного отношения или относительно солнца. Но все это можно преобразовать и рассчитать с помощью специальных преобразований относительности, состоящих из пространственных и временных вариаций.