Найдите скорость COM относительно лабораторной системы отсчета

Я пытаюсь решить следующий вопрос домашнего задания.

Предположим, что в лабораторной системе отсчета мы имеем$2$частицы. Частица»$a$" находится в состоянии покоя с полной энергией$E_a$, а частица "$b$" удаляется с полной энергией$E_2$. Если частица$b$имеет импульс$\vec{p}$, покажите, что система отсчета, в которой центр масс статичен, движется в направлении$\vec{p}$со скоростью

$$u = \frac{c^2 p}{E_a + E_b}$$ по отношению к лаборатории. Покажите также, что полный импульс системы равен$0$в системе отсчета COM.

Моя попытка решить эту проблему заключалась в следующем. Я попытался поместить частицу в начало координат, а затем найти скорость, с которой центр масс удаляется от начала координат в лабораторной системе отсчета, которая соответствовала бы скорости, которую мы хотим.

Поскольку частица$a$покоится в лабораторной системе отсчета, мы знаем, что

$$E_a = m_ac^2$$ и аналогично, поскольку разделяемый$b$движется (скажем, со скоростью$\vec{v}$), мы знаем это

$$\begin{align*} E_b &= \gamma m_b c^2\\ p &= \gamma m_b v \end{align*}$$ с$\gamma^{-1} = \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}$. Теперь по определению мы знаем, что положение центра масс (вдоль направления$\vec{p}$) будет $$\begin{align*} R = \frac{1}{m_a + m_b}\left(m_a(0) + m_b (vt)\right) \end{align*}$$ что означало бы, что $$\begin{align*} u = \frac{R}{t} = \frac{1}{m_a + m_b}m_bv = \frac{1}{\frac{E_a}{c^2} + \frac{E_b}{\gamma c^2}}\frac{p}{\gamma}= \frac{c^2 p}{\gamma E_a + E_b} \end{align*}$$ И это почти то уравнение, которое я хочу, но не совсем. Я не уверен, где ошибка в моих рассуждениях, может ли кто-нибудь сказать мне, что я сделал неправильно? Или, в качестве альтернативы, есть ли лучший способ попытаться решить эту проблему? Большое спасибо!