Как моделировать гиперболические орбиты?

Да. (Похоже, вы имеете дело с проблемой двух тел, которая имеет аналитическое решение.)

Во-первых, учитывая должность,$\vec{r}$, скорость,$\vec{v}$, как в системе координат с покоящимся центральным телом в начале координат, так и в ГМ центрального тела,$\mu$, вы можете легко вычислить удельную энергию (энергия на единицу массы), которая скажет вам, является ли траектория эллиптической (отрицательная энергия) или гиперболической (положительная энергия). Или, возможно, параболический (прямо нулевая энергия), который, однако, представляет только математический интерес. Из энергии можно получить большую полуось,$a$. Здесь$v=|\vec{v}|$а также$r=|\vec{r}|$:

$$\mathcal{E}={v^2\over 2}-{\mu\over r}$$

$$a={\mu\over 2\mathcal{E}}$$

Вы, вероятно, распространяете эллиптические орбиты с синусами и косинусами. Гиперболическая траектория выполняется аналогичным образом с гиперболическими синусами и гиперболическими косинусами. Вы можете вычислить конкретный угловой момент только по положению и скорости, и из этого получить эксцентриситет,$e$.

$$\vec{\mathcal{M}}=\vec{r}\times\vec{v}$$

$$e=\sqrt{1+{\vec{\mathcal{M}}\cdot\vec{\mathcal{M}}\over\mu a}}$$

Тогда простой вид траектории в$xy$самолет, с максимальным сближением на$+x$ось:

$$x=a\left(e-\cosh\tau\right)$$ $$y=a\sqrt{e^2-1}\sinh\tau$$

куда$\tau$эксцентрическая аномалия, связанная со временем, где$\tau=0$а также$t=0$находится на самом близком расстоянии:

$$t=\sqrt{a^3\over\mu}\left(e\sinh\tau-\tau\right)$$