Оптимальная точка на НОО для выполнения межпланетной инжекции.

На основании следующих расчетов угол вылета составляет около 53,5°.

Я собираюсь использовать следующие предположения:

• Космический корабль будет отходить от Земли, двигаясь в направлении Путешествия Земли, чтобы получить максимальную выгоду от пути Земли вокруг Солнца.

Используя следующие параметры.

• Стандартный гравитационный параметр Земли :$\mu_E= 3.97\times10^{14} \mathrm{m^3/s^2}$
• Земной радиус$r_E=6.380\times10^6\mathrm{m}$
• Желаемый орбитальный радиус НОО$r_0=6.580\times10^6\mathrm{m}$
• Впрыск Дельта-V$\Delta v= 3.87 \times 10^3 \mathrm{m/s}$

Затем мы можем рассчитать круговую орбитальную скорость на низкоорбитальной орбите.$v_{circ}$:

$$v_{circ}=\sqrt{\frac{\mu_E}{r_0}}=7.77\times10^3\mathrm{m/s}$$

Скорость вылета в момент ожога$v_0$:

$$v_0=v_{circ}+\Delta v = 1.16 \times 10^4 \mathrm{m/s}$$

Отсюда мы можем рассчитать удельную орбитальную энергию гиперболы вылета.$\epsilon$:

$$\epsilon=\frac{v_0^2}{r_0} - \frac{\mu_E}{r_0}=7.38 \times10^6\mathrm{J/kg}$$

И гиперболическая большая полуось , которую мы будем использовать позже в полярном уравнении для траектории вылета:

$$a=-\frac{\mu_E}{2\epsilon}=-2.69 \times 10^7\mathrm{m}$$

Удельный относительный угловой момент представляет собой векторное произведение радиального вектора и вектора скорости. Нам просто нужна величина этого вектора,$h$Поскольку при вылете вектор радиального расстояния перпендикулярен вектору скорости, мы можем просто умножить радиальное расстояние вылета и скорость вылета.

$$h= \|\overrightarrow{r_0}\times\overrightarrow{v_0}\|= r_0v_0\sin\theta=r_0v_0=7.66\times10^{10}\mathrm{m^2/s}$$

И с этим мы можем вычислить орбитальный эксцентриситет $e$:

$$e=\sqrt{1+\frac{2\epsilon h^2}{\mu_E^2}}=1.24$$

Это немного выше, чем предполагала моя интуиция, когда я первоначально комментировал.

С эксцентриситетом орбиты мы можем использовать уравнения гиперболической траектории из Википедии, чтобы получить угол между асимптотами и сопряженной осью, который я назову$\theta_0$, указанные ниже в радианах, затем в градусах.

$$\theta_0= \frac{2\arcsin(1/e) - \pi}{2} = -1.27 = -36.5^\circ$$

Используя стандартное полярное уравнение для гиперболы, этот угол$\theta_0$это угол, на который нам пришлось бы повернуть его, чтобы расположить асимптоту параллельно оси X, используя приведенное ниже уравнение.

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1-e\cos(\theta+\theta_0)}$$

С указанными выше параметрами построен график ниже. (Я думаю, что мне, вероятно, нужно найти лучший онлайн-калькулятор, чем Desmos; он не очень хорош в экспорте изображений. Нажмите на ссылку для более удобного просмотра)

График Десмоса: гиперболическая траектория вылета космического корабля с 200-километровой парковочной орбиты с$\Delta v$3,87 км/с

• Цифры на графике указаны в метрах.
• Солнце находится в направлении положительной оси Y.
• Направление движения Земли вокруг Солнца и асимптота отклонения находятся в направлении положительной оси X.
• Синий круг — Земля. Красная пунктирная линия — это 200-километровая парковочная орбита НОО.
• Черная пунктирная линия указывает точку вылета и проведена вдоль главной оси гиперболы.

И чтобы получить угол, о котором просил Борис, между отрицательной осью Y и главной осью гиперболы в радианах и градусах:

$$\phi_{burn}=\frac{\pi}{2}+\theta_0 = 0.93 = 53.5^\circ$$