Как мог бы распределяться заряд в заряженных проводниках, если бы закон Кулона не был равен 1/r21/r2{1}/{r^2}?

Джеймс Клерк Максвелл подумал об этом и показал следующее. Предположим, у нас есть две концентрические проводящие сферы, и мы заряжаем одну до потенциала$\Phi$относительно некоторой заземляющей плоскости. Тогда напряжение внутренней сферы относительно той же земли равно:

куда$\rho = r_{outer} / r_{inner}$есть отношение радиусов внешней к внутренней сфере и$q$есть отклонение между мощностью$r$в законе Кулона и 2 . Таким образом, радиальная зависимость в законе Кулона имеет вид$r^{-(2\pm q)}$; если существует точно обратная квадратичная зависимость, то$q=0$. Этот факт был использован для проверки закона Кулона с высокой точностью, см.:

Плимптон, SJ; Лоутон, В. Е., «Очень точная проверка закона силы Кулона между зарядами», Physical Review, vol. 50 (1936), выпуск 11, стр. 1066-1071.

Если фотон имеет массу$m$, Кулон$1/r$потенциал обобщает потенциал Юкавы :

поэтому описанный эксперимент можно использовать для ограничения массы фотона. Согласно Википедии (см. «Экспериментальные проверки массы фотона» на странице «Фотон») , эта граница равна$10^{-14}\mathrm{eV}/c^2$, или около$1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$, т.е. о$10^{-20}$электронные массы. Итак, теперь я хотел бы показать, как связать потенциал Кулона-Юкавы и массу фотона, и показать, как интерпретировать экспериментальный нулевой результат. Хорошая обзорная статья (по крайней мере мне было понятно) вот:

Лян-Ченг Ту и Цзюнь Луо, «Экспериментальные проверки закона Кулона и массы покоя фотона», Metrologia 41 (2004), стр. 136–146.

Гораздо проще и эквивалентнее говорить о таких вещах с точки зрения потенциалов, а не сил (при условии, что у нас есть безвихревые силы). Кроме того, следующее обсуждение с точки зрения массы фотона на самом деле является гораздо более простой основой для обсуждения прямых отклонений от постулируемого$1/r$Кулоновский потенциал, чем у Максвелла (кстати, выражение Максвелла (1) также получено в обзорной статье). Вместо того, чтобы говорить об отклонении$q$власти$1/r^{1\pm q}$в потенциальном законе Кулона из его постулируемой мощности, как это делает Максвелл, мы говорим о мультипликативном факторе ошибки$f(r) \approx 1+\epsilon_1\,r\approx e^{\epsilon\,r}$(аппроксимация справедлива для$r \ll 1/\epsilon$), так что мы предполагаем, что наш фактический потенциальный закон$e^{\epsilon\,r}/r$скорее, чем$1/r$.

Масса фотона дала бы о себе знать, изменив уравнение распространения электромагнитных потенциалов с безмассового волнового уравнения на уравнения Максвелла-Прока (см. страницу Википедии для «Proca Action» ):

куда$J_\mu$является четырехточным источником для поля. Чтобы понять, что константа масштабирования$m^2\,c^2/\hbar^2$в новом сроке$m^2\,c^2\,A_\mu /\hbar^2$имеет интерпретацию массы, мы можем:

1. Обратите внимание, что в свободном пространстве$\hbar^2 \nabla^2 - \hbar^2 \partial_t^2/c^2$является оператором (квантово наблюдаемым), эквивалентным квадрату длины четырехимпульсного$E^2 /c^2 - |\vec{p}|^2$, что является правильным термином (масса покоя)$m^2 c^2$; или же

2. Подумайте о решении версии свободного пространства (3) ($J_\mu = 0$) в виде разложения Фурье на плоские волны: плоская волна (волновое число$k$), временная гармоника (частота$\omega$) решения (3) определяются соотношениями

• что, конечно$\omega = c\,|k|$когда масса равна нулю, откуда групповая скорость равна фазовой скорости$c$. Но с ненулевым$m$, групповая скорость для низких частот$k \ll m\,c/\hbar$равно нулю, и волновой пакет может стоять примерно неподвижно в течение времени, пропорционального$m$срок.

Итак, теперь мы смотрим на статичную ситуацию ($\partial_t = 0$) для электростатического заряда, так что (3) становится

а потенциал Юкавы (2) является соответствующей функцией Грина для этого уравнения, т.е. решением уравнения

откуда мы можем построить поля, возникающие из общих распределений заряда$\rho$линейной суперпозицией:

Обратите внимание, что статическое поле в свободном пространстве вдали от заряда при любом распределении зарядов, каждый из которых имеет потенциал Юкавы (2), по-прежнему удовлетворяет уравнению свободного пространства

линейной суперпозицией:$\nabla^2$не зависит ни от смещения начала координат, ни от поворота соответствующей системы координат. Заметьте, что мы не могли бы сказать то же самое, если бы, скажем, у нас было$\Phi\propto 1/r^n$за$n\neq 1$, потому что тогда соответствующее дифференциальное уравнение будет:

и фактор$n\,(n-1)/r^2$наверняка изменяет свою форму в ответ на сдвиги в происхождении. Потенциалы Кулона и Юкавы являются особыми, поскольку они являются функцией Грина постоянного коэффициента, линейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Теперь рассмотрим полый проводник. Прежде всего следует отметить, что теоремы единственности для уравнения Лапласа и уравнения статического потенциала Максвелла-Прока работают совершенно одинаково. Если мы знаем потенциал на границе$\partial V$объема$V$, то если особенностей в$V$, мы предполагаем, что было два действительнозначных решения$\phi_1$а также$\phi_2$с таким же поведением на$\partial V$и применим теорему Гаусса о расходимости к$\psi\,\nabla \phi$куда$\phi = \phi_1-\phi_2$(отмечая$\phi$на$\partial V$ничто по предположению):

чтобы$\phi$должно быть ничего во всем$V$поскольку подынтегральная функция в правой части положительна или равна нулю, т . е . мы доказали единственность при условии, что мы можем найти решение в первую очередь. Для идеального проводника любые заряды внутри будут смещаться до тех пор, пока не исчезнет сила, касательная к поверхности проводника ($i.e.$заряды движутся чувствительно, пока не будут привязаны к поверхности), иначе они могли бы в дальнейшем перестроиться (путем перемещения по поверхности). Таким образом, электрическое поле всегда ортогонально поверхности проводника — этот факт не зависит от формы закона Кулона. Таким образом, внутренняя поверхность любого полого проводника всегда является эквипотенциальной поверхностью, независимой от формы закона электростатической силы (пока сила от одинокого заряда радиально направлена ​​к заряду или от него). Теперь, в случае с$\Phi = 1/r$потенциал, если потенциал на полой внутренней поверхности$\Phi_0$, то постоянный потенциал$\Phi_0$является решением уравнения Лапласа и, согласно предыдущему обсуждению, это единственное решение, удовлетворяющее нашим граничным условиям. Так$\nabla \Phi = 0$а внутри проводника нет электрического поля.

Итак, теперь мы делаем то же самое для статического потенциала Максвелла-Прока. Рассмотрим полую сферу радиусом$R$и заряжаем его до чудовищного напряжения$\Phi_0$. Тогда неособое осесимметричное решение (8) внутри полости имеет вид:

и, согласно вышеизложенному, это должно быть единственным решением. Обратите внимание, что решения этой задачи являются решениями уравнения Гельмгольца, а именно, сферическими функциями Бесселя, но для мнимых волновых чисел, поскольку статическое уравнение потенциала Максвелла-Прока является уравнением Гельмгольца с мнимой$k$. Электрическое поле внутри нашей сферы:

Итак, предположим, что мы заряжаем сферу радиусом один метр до миллиона вольт и не измеряем электрического поля с помощью зонда внутри сферы с точностью до, скажем, 100 вольт на метр. Тогда эксперимент дал верхнюю границу массы фотона:

Заметьте также, что согласно теореме единственности, которую мы рассмотрели выше, экспериментальный результат не зависит от того, является ли сфера в точности сферической. Мы можем численно решить потенциальное уравнение Максвелла-Прока для искаженных сфер и, таким образом, проверить чувствительность нашего эксперимента к таким искажениям.

Приведенные выше рисунки представляют собой очень грубый и простой эксперимент в современной лаборатории высокого напряжения. Как отмечено в Википедии, реальная масса фотона, полученная в результате этого эксперимента, примерно на шесть порядков меньше этой ($1.6\times10^{-50}\mathrm{kg}$), ограничение массы фотона, достижимое любым современным методом (наблюдение за галактической плазмой), снова примерно на тринадцать порядков меньше ($10^{-63}\mathrm{kg}$) и, наконец, как отмечено в статье Лян-Чэн Ту и Цзюня Луо, для современной Вселенной максимально достижимая точность измерения энергии (массы) чего-либо может считаться неравенством Гейзенберга$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$с$\Delta t$установить возраст Вселенной ($4\times10^{17}$секунд), поэтому минимально достижимая масса равна$\hbar/(2\,c^2\,\Delta t)\approx 10^{-69}\mathrm{kg}$.

Будет ли избыточный заряд на проводнике перемещаться на поверхность до тех пор, пока электрическое поле внутри не станет равным нулю [...]?

Задумайтесь на мгновение о механизме этого движения. Заряды перемещаются, потому что

1. они свободны (не связаны)
2. существует ненулевое поле, поэтому из$\vec{F}_E = q \vec{E}$сила на них

Эти два факта не зависят от точной формы кулоновских взаимодействий. Итак, короткий ответ: «Да».

Если да, то будет ли раздача$\sigma(x,y)$будь другим [...] ?

Конечно. WetSavannaAnimal указал вам направление решения замкнутой формы , но интуитивно должно быть ясно, что для получения того же условия (отсутствие поля внутри проводника) с другой формой поля распределение заряда должно быть другим.

Это не значит, что распределение заряда вообще не может быть строго поверхностным распределением и должно быть записано$\rho(\vec{r})$.

Предложение к вопросу (v3): обобщить вопрос до$1/r^s$потенциальный закон в$n$пространственные размеры! Тогда, согласно ответу mathoverflow Генри Кона здесь , заряды устремляются к границе тогда и только тогда, когда$s\leq n-2$. Итак, в примере OP$(s=2,n=3)$, заряды не устремляются к границе, в отличие от реального мира$(s=1,n=3)$.