Как можно доказать, что количество изображений, образованных отражающими поверхностями двух плоских зеркал, стоящих под прямым углом друг к другу, равно трем?

Как можно доказать, что количество изображений, образованных двумя плоскими зеркалами, расположенными под прямым углом друг к другу, равно трем?

Есть ли математическое доказательство того же?

Эта ссылка имеет довольно хороший ответ.
Привет @Curious - я преобразовал ваш ответ в комментарий, потому что, если вы просто собираетесь опубликовать ссылку, она сама по себе не является ответом. Если вы опишете содержание на связанной странице в своем ответе, чтобы не нужно было нажимать на ссылку, чтобы понять суть вашего ответа, это было бы прекрасно. Не стесняйтесь опубликовать свой ответ еще раз, если вы хотите это сделать.
@Rajesh K Singh Общая формула для количества изображений зеркалами под углом θ является 2 ⌊ π θ − 1 2 ⌋ + 1 . Я вывел это недавно, математически.

Ответы (3)

Придерживаясь 2D для простоты, матрицы преобразования для отражений в линиях x = 0 и y = 0:

р Икс "=" ( − 1 0 0 1 )
р у "=" ( 1 0 0 − 1 )

Любая комбинация этих преобразований может быть задана р Икс м р у н где м и н целые числа, дающие номер каждого отражения.

Но оба отражения являются их собственными инверсиями, т.е. р Икс р Икс "=" я и р у р у "=" я . Если это не очевидно интуитивно, вы можете доказать это, перемножив приведенные выше матрицы. Итак, для любого целого числа м , р м равно р если м нечетный или я если м даже. Это означает, что есть только три различные комбинации, которые не являются тождественными:

  1. р Икс
  2. р у
  3. р Икс р у

Вот почему есть три и только три отражения.

На самом деле я должен был упомянуть, что мое доказательство работает только потому, что р Икс и р у коммутативны, т.е. р Икс р у "=" р у р Икс . Это правда, и вы можете доказать это, перемножив матрицы вручную, но обратите внимание, что в общем случае два отражения не коммутативны — два зеркала под прямым углом — это частный случай.

Можно просто нарисовать, как выглядят лучи для конкретного наблюдателя. Это прекрасное доказательство.

Это очень просто доказать математически. Вы можете использовать формулу:

н "=" 360 ⁰ θ − 1

Как можно доказать, что количество изображений, образованных отражающими поверхностями двух плоских зеркал, стоящих под прямым углом друг к другу, равно трем?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v