Как найти координаты ECI для круговой орбиты

Начните с размышлений об этом с точки зрения вращений Эйлера. Используя правило руки/правой руки Ампера, «начните» с того, что ваша рука выровнена с «исходным» кадром ECI. Представьте, что ваша правая рука находится в центре Земли, поэтому вокруг вашей руки будет летать космический корабль. В частности, его самое дальнее расстояние от начала координат — это большая полуось, но, поскольку мы находимся на круговой орбите, единственное расстояние космического корабля — это sma. Мы поработаем над поиском правильного кадра «назначения». Вы знаете, что «достигли» конечного кадра, когда движение космического корабля может быть представлено вращением вокруг одной оси. Глядя на диаграмму правила правой руки ниже, это означает, что движение вашего космического корабля соответствует только вращению вокруг большого пальца.

Подумайте о прямом восхождении восходящего узла. Что это означает с точки зрения геометрии? Это означает, что космический аппарат всегда будет пересекать плоскость орбиты под таким углом по отношению к «началу» кадра. Глядя на диаграмму правила правой руки ниже, эта плоскость орбиты — это плоскость, созданная из векторов a и b. RAAN измеряется от исходного кадра, следовательно, от вектора a. Следовательно, с точки зрения вращения, RAAN соответствует вращению вокруг вектора a-cross-b (т.е. вашего большого пальца). Это соответствует вращению Эйлера вокруг 3-й оси.

Теперь представьте, что означает наклон вашей орбиты относительно правой руки. Это соответствует вращению указательного пальца, который является 1-й осью. Пока что мы сделали два поворота: по 3-й и по 1-й оси.

Последнее вращение будет для истинной аномалии вашей орбиты. Как обсуждалось в первом абзаце, на данный момент движение вашего космического корабля полностью описывается вращением большого пальца, то есть вращением вокруг 3-й оси. Это означает, что после того, как мы учли это вращение, мы сделаем вращение Эйлера 3-1-3, где углы представляют собой соответственно RAAN, наклон и истинную аномалию.

Итак, на какой начальный вектор вам нужно умножить матрицу прямого косинуса? Что ж, возвращаясь к началу проблемы, мы заявили, что космический корабль был описан как вращающийся вокруг вашей руки, и мы сделали все вращения с {указательным, средним пальцем, большим пальцем} в качестве рамки. Следовательно, начальный вектор равен [sma; 0; 0].

Далее, на круговой орбите угловая скорость постоянна. Таким образом, вы можете вычислить период обращения по среднему движению и GM Земли: период просто делится на 2-пи на среднее движение. Наконец, вы знаете, сколько времени прошло с момента прохождения перицентра космического корабля, поэтому вы можете полностью определить истинную аномалию.

Теперь у вас есть все биты для создания состояния X, Y, Z из данных, которые вам дали. Дайте мне знать, если это объяснение нуждается в разъяснении.

Процесс преобразования между кеплеровскими / классическими элементами орбиты в вектор состояния ECI описан в ряде книг, популярной из которых является «Орбитальная механика для студентов-инженеров» Говарда Д. Кертиса. Я дам краткий обзор здесь:

Ориентация плоскости орбиты описывается прямым восхождением, наклонением и аргументом перицентра. Большая полуось описывает «размер», эксцентриситет «форму», а истинная аномалия отслеживает положение тела в зависимости от времени на этой орбите.

Три угла, описывающие ориентацию плоскости орбиты, представляют собой углы последовательности углов Эйлера 3-1-3, описывающие ориентацию системы координат орбиты относительно системы координат ECI. Эта система орбиты известна как перифокальная система координат, которая определяется следующим образом: ось x указывает от центра орбиты к точке перицентра орбиты; ось z указывает от центра орбиты к направлению углового момента орбиты (позиционная поперечная скорость). в любой точке орбиты, поскольку она постоянна на орбите двух тел) ось y завершает правую систему (+z крест +x = +y)

Вы можете рассчитать векторы положения и скорости орбиты относительно перифокальной системы координат, используя истинные аномалии, a, e и mu, а затем, как только вы это сделаете, вы затем используете матрицу вращения для преобразования координат векторов положения и скорости. от перифокальной рамки до рамки ECI, и тогда у вас есть ответ.

Однако следует отметить, что для чисто круговых орбит технически нет точки перицентра, но вы все равно можете просто определить ее произвольно и двигаться дальше.

Что касается программного обеспечения для этого, вы можете либо написать функцию самостоятельно (что я бы рекомендовал сделать хотя бы один раз, чтобы попрактиковаться), либо использовать уже написанные программы. Мне нравится использовать программное обеспечение NASA SPICE (названное из Python), поскольку оно тщательно протестировано, изначально написано на Fortran, но оболочка Python вызывает его C-версию, а система SPICE в целом очень мощная. У MATLAB также есть оболочка для CSPICE, хотя я ею не пользовался.

В частности, если вы хотите увидеть, как самостоятельно написать эту функцию на Python, у меня есть видео, посвященное этому:

У меня также есть видео о том, как использовать оболочку CSPICE Python (называемую spiceypy), которую вы также можете найти на канале, но я просто оставлю здесь ссылки на SpiceyPy и, в частности, на функцию CSPICE для преобразования элементов орбиты в векторы состояния: https ://spiceypy.readthedocs.io/en/master/documentation.html https://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/toolkit_docs/C/cspice/conics_c.html

Я надеюсь, что это полезно!