Как найти напряжение на конденсаторе в моменты времени t=0 и t=бесконечность?

Подсказки:

Отношение напряжения к току конденсатора определяется:

$$\begin{equation} I = C \frac{dV_c}{dt} \end{equation}$$

В$t = 0$: подумайте о том, что происходит, когда вы интегрируете предел как$dt \rightarrow 0$(т.е. что конденсатор не может сделать в отношении действительно быстрых переходных процессов?)

$$\begin{equation} \lim_{\delta \rightarrow 0^+} \int_{0^-}^{\delta} I dt = \lim_{\delta \rightarrow 0^+} C \int_{0^-}^{\delta} \frac{d V_c}{dt} dt \end{equation}$$ Обратите внимание, что это уравнение не подразумевает $I(0^+) = 0$; он обеспечивает только математическую «слабую» гарантию того, что его интеграл не изменится в бесконечно малом диапазоне.

В$t \rightarrow \infty$, подумайте о том, что произойдет, когда исчезнет все переходное поведение ($\frac{d <value>}{dt} = 0$).

Здесь важно понимать, что напряжение на конденсаторе не может измениться мгновенно. Вы знаете, что будет экспоненциальный спад. Это означает, что вы можете разделить решение на три шага:

1. Анализ цепи постоянного тока перед переключением (исходное состояние)
2. Анализ цепи постоянного тока спустя долгое время после события переключения (конечное состояние)
3. Определить скорость распада (постоянную времени)

Шаги 1 и 2 ответят на части a, b и d вашей задачи, а также на вторую половину c. Все три шага необходимы для ответа на первую половину c.

1) В момент включения [разряженный] конденсатор будет выглядеть как короткое замыкание. Какое напряжение при коротком замыкании?

2) Когда конденсатор полностью заряжен, это будет выглядеть как разомкнутая цепь. Какое напряжение на разомкнутой цепи?

Для более упрощенного формата (без исчисления) сначала найдите постоянную времени цепи RC, которая также известна как «тау». Давайте использовать это как «t», тогда t = RC. С t в секундах.

Зная t, можно легко рассчитать напряжение на C. Напряжение на C будет изменяться на 63% от приложенного напряжения (приложенного к RC) после каждого периода времени t. Это работает для зарядки или разрядки. (При разрядке можно сказать, что напряжение составляет 37%, однако это то же самое, что говорить о снижении на 63%).

Например, если t = 1 секунда, а доступное напряжение, приложенное к RC, составляет 10 В постоянного тока, напряжение на C будет 6,3 В через 1 секунду. Затем в течение следующей 1 секунды C будет дополнительно заряжаться до 6,3 + 63% оставшейся разницы напряжений. В данном случае (6,3 + (10-6,3) х 63%)). В этой форме вы можете утверждать, что напряжение на C никогда полностью не достигнет 10 В.

Чтобы быть немного более точным, вы можете использовать 63,2%.

Вот ссылка на вики для постоянной времени RC: http://en.wikipedia.org/wiki/RC_time_constant

Напряжение на конденсаторе не может измениться мгновенно, поэтому:

$$V_0(0^-)=0 \Longrightarrow V_c(0^-)=V_c(0^+)=0 \ \therefore \ V_c(0)=0V$$

Вы можете написать следующий diff. уравнение для других значений Vc:

$$R3.C\frac {dV_c}{dt}+V_c=V_0$$

Решение этой линейной разности первого порядка. уравнение дает:

$$V_c(t)=1+ke^{-t/C}$$

Если вы используете начальное значение, которое вы найдете$k=-1$и$t \rightarrow \infty \Longrightarrow V_c=1V$.

Напряжение конденсатора не может измениться мгновенно, так как для этого потребуется бесконечный ток. Следовательно, напряжение на конденсаторе при Т = 0 такое же, как и непосредственно перед Т = 0.

При T = ∞ все считается установившимся. Если цепь чисто постоянного тока, то через какой-либо конденсатор не будет протекать ток, и вы можете заменить все крышки разомкнутыми цепями, чтобы определить напряжения в цепи.