Как одна и та же сила может совершать разную работу в двух разных инерциальных системах отсчета?

Вы правильно обнаружили, что мощность, работа и кинетическая энергия — все это варианты системы отсчета. Это хорошо известно на протяжении веков, но всегда удивляет студента, когда он впервые обнаруживает это. По какой-то причине это не является частью стандартной учебной программы по физике.

Итак, причина, по которой это беспокоит каждого студента, сталкивающегося с этим, заключается в том, что это кажется несовместимым с сохранением энергии. Если работа, совершаемая в разных системах отсчета, различна, то как может сохраняться энергия во всех системах отсчета?

Ключ в том, чтобы признать, что сила, совершающая работу, действует на два тела. В данном случае объект и горизонтальная поверхность. Вы должны включить оба тела, чтобы получить полную картину сохранения энергии.

Рассмотрим ситуацию в вашем примере из произвольной системы отсчета, где горизонтальная поверхность (далее «земля») движется со скоростью$u$, наземная рама тогда является рамкой$u=0$. Пусть земля имеет массу$M$. Начальные кинетические энергии равны:

Теперь сила трения$-f$действует на объект до тех пор, пока$v_{obj}(t_f)=v_{gnd}(t_f)$. Решение на время дает

В$t_f$конечные кинетические энергии:

Важно отметить, что общее изменение KE не зависит от$u$, что означает, что это инвариант кадра. Это количество энергии, которое преобразуется в тепло на границе раздела. Таким образом, даже несмотря на то, что изменение KE для самого объекта является вариантом системы отсчета, когда вы также включаете землю, вы обнаружите, что полное изменение кинетической энергии является инвариантом системы отсчета, что позволяет сохранять энергию, поскольку количество выделяемого тепла является инвариантом системы отсчета.

Силы не действуют только на один объект. Это трудно увидеть, но другой объект в силовой паре здесь — земля/земля.

В системе отсчета, где земля неподвижна, трение не действует на землю, поэтому мы можем отбросить эффекты. Но в кадре, где земля движется, на нее действует трение.

В любом кадре сумма всей проделанной работы одинакова, но может быть распределена между двумя объектами в разной степени. Возможно, в стационарной системе отсчета Земли в результате объект теряет 50 Дж и выделяет 50 Дж тепла. В другом кадре вы можете обнаружить, что объект теряет 250 Дж, земля получает 200 Дж и выделяет 50 Дж тепла.

Коэффициент трения в обоих случаях одинаков. Вы предположили, что пройденное расстояние одинаково в обоих случаях, поэтому вы получаете разные значения для$\alpha$. Другие ваши вопросы были прояснены во многих ответах выше, поэтому я просто хотел упомянуть этот момент.

Расчет с использованием определения работы:

$W = \int_{x1}^{x2}{Fdx}$. Для рамы, движущейся со скоростью$v_0$, замена переменных:$x' = x - v_0t$и$dx' = dx - v_0dt$.

$W' = \int_{x1'}^{x2'}{F(dx - v_0dt)} = \int_{x1}^{x2}{Fdx - \int_{t1}^{t2}Fv_0dt}$

Первый интеграл представляет работу в стационарной системе отсчета. Как упоминалось в других ответах, второй можно интерпретировать как работу, проделанную над вторым телом («землей»). Теоретически это должно приводить к уменьшению его скорости, но так как он гораздо массивнее, то есть переменная сила и постоянная скорость.

Первая часть может быть использована для расчета изменения кинетической энергии для стационарной системы координат:

$\int_{x1}^{x2}{Fdx} = m\int_{x1}^{x2}{(dv/dt)dx} = m\int_{x1}^{x2}{dv(dx/dt)} = m\int_{v}^{0}{vdv} = -(1/2)mv^2$

Но второй интеграл:$\int_{t1}^{t2}{Fv_0dt} = mv_0\int_{t1}^{t2}{(dv/dt)dt} = mv_0\int_{v}^{0}{dv} = -mv_0v$

Совершенная работа, измеренная подвижной системой отсчета, равна:$-(1/2)mv^2 + v_0v$, что соответствует вашему расчету.

В теории движения: учитывая относительность движения по инерции, способ поиска понимания происходящей механики заключается в поиске инварианта. Здесь «инвариант» относится к представлению, которое не зависит от выбора начала инерциальной системы координат.

Вот что мне нужно для этого сделать:

В случае двух масс$m_1$и$m_2$мы можем указать скорость каждой массы как скорость относительно общего центра масс (CCM) двух масс.

$m_1$Масса объекта 1
$m_2$Масса объекта 2
$v_1$Скорость объекта 1 относительно КМС
$v_2$Скорость объекта 2 относительно КМС

$V_r$относительная скорость между двумя объектами
$V_c$скорость CCM относительно некоторого выбранного источника

Это обозначение воплощает в себе то, что по отношению к CCM полный импульс системы из двух частиц равен нулю:$m_1v_1 + m_2v_2 = 0$

Полная кинетическая энергия, выраженная через$v_1$и$v_2$:

Используя (1) и (2), чтобы преобразовать (3) в и выражение в$V_r$и$V_c$:

Многие термины отпадают друг от друга, и выражение может быть разделено на компоненты в терминах скорости CCM относительно некоторого выбранного начала координат и относительной скорости между$m_1$и$m_2$

Конечно, мы можем сделать$V_c$нулевой член, выбрав систему координат, движущуюся вместе с CCM. Тогда выражение для кинетической энергии:

Это показывает, что не существует такой вещи, как кинетическая энергия отдельного объекта. Кинетическая энергия имеет смысл только с точки зрения относительной скорости между двумя объектами.

Просто, когда другой объект намного, намного массивнее, существует незначительная ошибка в упрощении выражения до: