Как поперечные волны на струне могут переносить продольный импульс?

Поддельный вывод

Мы можем довольно легко вычислить горизонтальную скорость для струны fi, предположив , что вектор полной скорости всюду нормален к струне (это предположение не всегда верно, см. ниже). Следующий рисунок иллюстрирует вычисление:

Возьмем две бесконечно малые точки$x$и$x+\mathrm{d}x$и пусть волновое движение$\varphi(x,t)$. Вертикальная/поперечная скорость равна$v_\text{vert} = \partial_t \varphi(x,t)$, а горизонтальная составляющая$v_\text{hor} = -v_\text{vert}\tan(\vartheta)$, куда$\vartheta$угол между нормалью и вертикалью, а знак минус означает, что если мы измерим$\vartheta$в обычном направлении против часовой стрелки, то горизонтальная скорость указывает на$-x$для маленьких$\vartheta$. Сейчас$\tan(\vartheta)$является$\frac{\varphi(x+\mathrm{d}x) - \varphi(x)}{\mathrm{d}x} = \partial_x\varphi(x)$, так что мы получаем

$$v_\text{hor} = -\partial_t\varphi\partial_x\varphi$$ и если вы подключите синусоидальное решение и возьмете среднее по времени, вы получите точно такой же результат, как и для продольных волн. Тем не менее, вы можете сказать, что уравнение поперечной волны было выведено без предположения о продольном движении, а это вычисление явно предполагает нечто иное.

Лагранжев вывод

Как ни странно, результатом вышеприведенного расчета является правильный импульс для чистой поперечной волны. Лагранжиан поперечной волны равен

$$L = \frac{1}{2}\rho (\partial_t\varphi)^2 - \frac{1}{2}\tau(\partial_x\varphi)^2$$ а трансляционная инвариантность дает нам плотность импульса $$T_{xt} = \partial_x L \partial_t \varphi = - \rho\partial_x\varphi\partial_t\varphi$$ который сохраняется по теореме Нётер.

Фактический ответ _

В действительности чисто поперечных волн на струне не бывает, всегда будут вторичные продольные волны, генерируемые при попытке возбудить ее чисто поперечно. «Истинный» импульс реальной «поперечной» волны составляет скорее половину теоретического предсказания, т.е.$\frac{1}{2}\rho\partial_t\varphi\partial_x\varphi$, подробнее об этом см. «Загадка пропавшего волнового импульса» [ссылка в формате pdf] Роуленда и Паска.

Вы абсолютно правы во всем, что сказали. Импульс отличен от нуля только в том случае, если волна имеет продольную моду, что и является реальным случаем. Более того, в этом случае волновое уравнение оказывается не таким простым. Позвольте мне попробовать показать это.

Продольный режим

Предположим, что в равновесии струна плотностью$\mu$, находится вместе с$x\equiv x_1$оси и имеет напряжение$T_0$. Общее смещение струны равно

$$\vec \xi(x_1,t)=\xi_1(x_1,t)\vec e_1+\xi_2(x_1,t)\vec e_2\equiv\xi_i(x_1,t)\vec e_i.$$ Небольшой раздел $ds$на струну действует сила $$d\vec T=\frac{\partial\vec T}{dx_1}dx_1=\mu dx_1\frac{\partial^2\vec\xi}{dt^2},$$ по второму закону Ньютона. Величина $\vec T$является $T_0$плюс приращение, пропорциональное растянутой сумме $$\frac{ds-dx_1}{dx_1}=\frac{ds}{dx_1}-1.$$ Если струна имеет площадь поперечного сечения $A$и модуль Юнга $Y$, приращение напряжения равно $$AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right).$$ Следовательно $$\vec T=\left[T_0+AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right)\right]\frac{d\vec s}{ds}$$ куда $d\vec s$направлен вдоль $ds$. У нас есть $$d\vec s=(d\xi_1+dx_1)\vec e_1+d\xi_2\vec e_2,$$ $$ds=\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\right)^2}dx_1$$ Как видите, когда мы подключаем $\vec T$возвращаясь к уравнению движения, мы получаем три нелинейных и связанных уравнения в частных производных (хотя не так ли?). Для упрощения предположим, что смещения малы, т.е. $$\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\approx\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\ll 1.$$ Теперь цель — расширить $\vec T$до первого порядка в $\frac{d\xi_i}{dx_1}$. Сначала заметьте, что $$\frac{ds}{dx_1}-1=\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}+O((\partial\xi_1/\partial x_1)^2).$$ Затем $$\begin{align} \vec T&\approx\frac{\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right)}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_2}\right)^2}},\\ &\approx\left(1-\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right),\\ &\approx\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\vec e_1+T_0\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\vec e_2. \end{align}$$ Подставив это обратно в уравнение движения, мы получим два волновых уравнения, $$\frac{\partial^2\xi_i}{\partial t^2}=c_i^2\frac{\partial^2\xi_i}{\partial x_1^2},$$ чьи скорости $$c_1=\sqrt{AY/\mu},\quad c_2=\sqrt{T_0/\mu}.$$ Обратите внимание, что если пренебречь коэффициентом Юнга (упругостью) струны, то продольная мода исчезнет. Также обратите внимание, что скорость продольной волны обычно больше скорости поперечной волны, поскольку типичные значения модуля Юнга обычно велики, $Y\sim 10^{9}\, Pa$. Для строки площади $A\sim 10^{-4}\, m^2$мы получили $$\frac{c_1}{c_2}\sim\sqrt{\frac{10^5}{T_0}}.$$

Продольный импульс

В этом посте вычисляется плотность потенциальной энергии струны (помните$\xi_2$поперечное смещение),

$$U=\frac{T_0dx}{2}\left(\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\right)^2.$$ Тогда « плотность силы » в продольном направлении равна $$f_1=-\frac{\partial U}{\partial x_1}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}.$$ Давайте позвоним $p_1$" плотность импульса " в продольном направлении. Затем $$\frac{dp_1}{dt}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2\xi_2}{\partial t^2},$$ где мы использовали волновое уравнение. Интегрируя по частям (по времени) окончательно получаем плотность импульса $$p_1=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial\xi_2}{\partial t}.$$

I) Уже есть несколько хороших ответов. ОП спрашивает об импульсе нерелятивистской струны только с поперечными смещениями, лагранжева плотность которой обычно задается как

$${\cal L}_T ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\eta}^2 - \frac{\tau}{2} \eta^{\prime 2} \tag{1}$$

в учебниках.

II) Зафиксируем обозначения:$\rho$– одномерная массовая плотность;$\tau$натяжение струны;$Y$– одномерный модуль Юнга; точка обозначает производную по отн.$x^0\equiv t$; штрих обозначает производную относительно.$x^1\equiv x$;$\xi$продольное смещение в$x$-направление; и$\eta$представляет собой поперечное смещение в$y$-направление.

III) Прежде всего отметим, что канонический тензор энергии-импульса-импульса (SEM) $T^{\mu}{}_{\nu}$(который содержит плотность импульса$T^0{}_1$) — это откат к мировому листу (WS), который мы отождествляем с$(x,t)$-самолет. Поэтому направление импульса часто отождествляют с продольным.$x$-направление, даже если колебания физического целевого пространства (ЦП) происходят в поперечном$y$-направление.

Во-вторых, заметим, что уже для (концептуально более простой) модели продольных волн

$${\cal L}_L ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\xi}^2 - \frac{Y}{2} \xi^{\prime 2}, \tag{2}$$

(минус) каноническая плотность импульса

$$T^0{}_1~=~\rho\dot{\xi}\xi^{\prime} \tag{3}$$

отличается от плотности кинетического импульса$\rho\dot{\xi}$. Это связано с тем, что модель (2) построена для описания волновых возбуждений струны, а не ее полных трансляций. Вывод состоит в том, что не всегда полезно пытаться уравнять канонический импульс и кинетический импульс. (И, в частности, в [1] этого не достигается. Более того, в [1] обсуждаются только киральные возбуждения, т. е. леводвигатель или праводвигатель, но не их суперпозиция, что для нелинейной теории является неполным. )

Достаточно сказать, что разные импульсы можно рассматривать и понимать отдельно и что существуют законы сохранения, связанные с обоими типами импульсов. Сохранение кинетического импульса следует из законов Ньютона, а сохранение канонического импульса является следствием трансляционной симметрии, ср. Теорема Нётер . В этом ответе мы сосредоточимся на получении более реалистичной физической модели поперечной волны, чем лагранжева плотность (1).

IV) Нашей отправной точкой является простое наблюдение, что для нерастяжимой струны$Y \gg \tau$, небольшое поперечное смещение

$$\eta~=~{\cal O}(\varepsilon),\tag{4}$$

куда$\varepsilon \ll 1$, должно сопровождаться продольным смещением

$$\xi~=~{\cal O}(\varepsilon^2),\tag{5}$$

ср. Рис. 1 ниже.

$\uparrow$Рис. 1. Бесконечно малое поперечное пилообразное перемещение$\varepsilon\ll 1$нерастяжимой струны должно сопровождаться продольным смещением$\frac{\varepsilon^2}{2}$.

V) Мы заключаем, что реалистичная модель поперечных возбуждений$\eta$должны предусматривать возможность продольных перемещений$\xi$также. Поэтому рассмотрим плотность лагранжиана

$$\begin{align} {\cal L}~:=~&{\cal T}-{\cal V}, \cr {\cal T}~:=~&\frac{\rho}{2}\left(\dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2\right),\end{align}\tag{6}$$

где потенциальная плотность${\cal V}$должно быть задано законом Гука . Позволять

$$\begin{align} s^{\prime} ~=~& \sqrt{(1+\xi^{\prime})^2 +\eta^{\prime 2} }\cr ~=~&1+\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\xi^{\prime}\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\eta^{\prime 4}}{8} +{\cal O}(\varepsilon^5)\end{align} \tag{7}$$

быть производной длины дуги$s$относительно в$x$-координата. По модулю возможных членов полной производной потенциальная плотность${\cal V}$должен быть в форме

$$\begin{align}{\cal V}~=~&\frac{k}{2} \left( s^{\prime}-a\right)^2 \cr ~=~& \frac{k}{2} (s^{\prime }-1)^2 + k(1-a) (s^{\prime}-1) \cr &+ \frac{k}{2} (1-a)^2 \end{align}\tag{8}$$

для подходящих материальных констант$k$и$a$, ср. Ссылка 1. Как станет ясно ниже, мы должны отождествить две константы$k$и$a$в качестве

$$k ~=~Y+\tau \quad\text{and}\quad \tau~=~ k(1-a). \tag{9}$$

Поэтому плотность потенциала (8) принимает вид

$$\begin{align}{\cal V}~\stackrel{(8)+(9)}{=}&~ \frac{Y+\tau}{2} (s^{\prime }-1)^2 +\tau (s^{\prime}-1) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)} \cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \tau\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} +\frac{\xi^{\prime 2}}{2} \right) \cr &+ \frac{Y}{2}\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} \right)^2 +{\cal O}(\varepsilon^5) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)}.\end{align}\tag{10}$$

Сохраняя только члены в четвертом порядке и отбрасывая полные производные и постоянные члены, потенциальная плотность читается

$${\cal V}_4~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) +\frac{Y}{2}\chi^2 ,\tag{11}$$

где мы определили сокращенную запись

$$\chi~:=~\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} .\tag{12}$$

Потенциал четвертой степени (11) удивительно прост. Для нерастяжимой струны$Y\gg\tau$, мы признаем в уравнении. (11) ограничение

$$\chi~\approx~0 ,\tag{13}$$

что лежит в основе рис. 1. Ограничение (13) означает, что поперечное возбуждение (4) первого порядка по$\varepsilon$индуцирует продольное возбуждение (5) второго порядка по$\varepsilon$. Как мы увидим ниже, даже растяжимая струна имеет сродство к ограничению (13).

VI) Кроме того, мы можем переписать потенциал четвертой степени (11) как потенциал кубической формы

$${\cal V}_3~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) -\frac{B^2}{2Y} + B\chi, \tag{14}$$

куда$B$является вспомогательным полем. Уравнение Эйлера-Лагранжа (EL) для$B$является

$$B ~\approx~Y\chi.\tag{15}$$

Уравнения ЭЛ для$\xi$и$\eta$читать

$$\begin{align} \rho \ddot{\xi}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\xi^{\prime\prime} + B^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ (\tau+Y)\xi^{\prime\prime} + Y \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{16}$$ $$\begin{align} \rho \ddot{\eta}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\eta^{\prime\prime} +\left(B\eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ \tau\eta^{\prime\prime}+\frac{3Y}{2}\eta^{\prime 2}\eta^{\prime\prime} + Y(\xi^{\prime}\eta^{\prime})^{\prime},\end{align}\tag{17}$$

соответственно.

VII) Если мы интегрируем$B$-поле в кубическом потенциале (14),

$${\cal V}_3\quad\stackrel{B}{\longrightarrow}\quad{\cal V}_4,\tag{18}$$

мы получаем потенциал четвертой степени (11). Уравнения EL (16) и (17) становятся

$$\begin{align}\Box_L\xi~:=~& \ddot{\xi}- c_L^2 \xi^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho} \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2) \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{19}$$ $$\begin{align}\Box_M\eta~:=~& \ddot{\eta}- c_M^2 \eta^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho}\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2)\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime},\end{align}\tag{20}$$

где мы определили две скорости

$$c_M^2~:=~\frac{\tau}{\rho}\quad\text{and}\quad c_L^2~:=~\frac{Y+\tau}{\rho}.\tag{21}$$

Будем рассматривать только левые волны. Прямой анализ показывает, что уравнения ЭЛ (19) и (20) имеют два режима движения:

1. Более быстрый чисто продольный$L$-Режим$\xi_L(x\!-\!c_Lt)$с$\eta_L(x\!-\!c_Lt)\approx 0$(что формально нарушает ограничение (13), но напомним уравнение (5)).

2. Более медленный смешанный$M$-Режим$\xi_M(x\!-\!c_Mt)$и$\eta_M(x\!-\!c_Mt)$который удовлетворяет ограничению$\chi_M(x\!-\!c_Mt) \approx 0$в уравнении (13).

VIII) Два способа передвижения$L$и$M$независимы в том смысле, что они могут проходить друг через друга. Однако создание (и уничтожение)$M$-режимы не зависят от$L$-Режим. Ограничение (13) имеет односторонний эффект: поперечное смещение всегда связано с продольным втягиванием. Напомним, что если мы наложим граничные условия Дирихле на пространственные концы струны, то полное продольное втягивание будет невозможно. Создание (и уничтожение)$M$Поэтому -мода должна быстрее возбуждать компенсирующую$L$-мода, противодействующая продольной составляющей$M$-Режим. См. ссылку. 1 для получения дополнительной информации.

IX) Наконец, интересно попытаться проинтегрировать продольное поле$\xi$в модели четвертого порядка (11). Мы можем решить уравнение (19) для продольного поля

$$\begin{align}\xi~\approx~& \frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}~G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\frac{d}{dx^{\prime}}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2 \cr~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}&~\frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}\left\{-\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\right\}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{22}$$

введением функции Грина$G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$и координаты светового конуса

$$\begin{align} x^{\pm} ~:=~& t \pm \frac{x}{c_L}, \cr \Delta x^{\pm} ~:=~& \Delta t \pm \frac{ \Delta x}{ c_L}, \cr \Delta t ~:=~& t - t^{\prime}, \cr \Delta x ~:=~& x - x^{\prime}.\end{align}\tag{23}$$

Тогда даламбертиан в 1+1D становится

$$\Box_L ~=~ 4\partial_+\partial_-\tag{24}.$$

Функция Грина $G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$удовлетворяет по определению

$$\begin{align}\Box_L G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~& \delta(\Delta t)\delta(\Delta x)\cr ~=~& \frac{2}{c_L} \delta(\Delta x^+)\delta(\Delta x^-).\end{align}\tag{25}$$

Запаздывающая функция Грина

$$G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~ \frac{1}{2c_L}\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-).\tag{26}$$

Однако для получения лагранжевой формулировки (30) для$\xi$-редуцированной теории четвертой степени (11) следует использовать симметризованную функцию Грина

$$\begin{align} G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~=~&\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\cr &+\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x^{\prime},t^{\prime};x,t).\end{align}\tag{27}$$

Удобно ввести обозначение

$$\begin{align} K&(x,t; x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~:=~& -\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~=~& -\frac{1}{4c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-) + \theta(-\Delta x^+)\theta(-\Delta x^-)\right]\cr ~=~& -\frac{1}{8c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[{\rm sgn}(\Delta x^+){\rm sgn}(\Delta x^-)\right].\end{align}\tag{28}$$

Тогда производная$\xi^{\prime}$продольного поля дается просто

$$\xi^{\prime} (x,t) ~\approx~ \frac{Y}{2\rho} \int \! dt^{\prime}~dx^{\prime}~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2.\tag{29}$$

Наконец, мы можем записать действие

$$\begin{align} S_4 ~\stackrel{\xi}{\longrightarrow}&~ \int \! dt~dx \left(\frac{\rho}{2}\dot{\eta}^2-\frac{\tau}{2}\eta^{\prime 2} -\frac{Y}{8} \eta^{\prime 4}\right) \cr -&\frac{Y^2}{8\rho} \int dt~dx~dt^{\prime}dx^{\prime}~\cr &\eta^{\prime}(x,t)^2 ~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~ \eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{30}$$

для$\xi$-редуцированная квартическая теория (11). Легко проверить, что соответствующее уравнение ЭЛ для$\eta$экв. (17), где$\xi^{\prime}$в правой части ур. (17) определяется уравнением. (29).

Действие (30) билокально, что ожидаемо. (С другой стороны, по крайней мере, действие (30) не зависит от более высоких производных пространства-времени!) Однако нелокальная природа бросает вызов концепции тензора SEM (и, следовательно, канонической плотности импульса, о чем изначально спрашивал OP о). По-прежнему можно вывести законы сохранения Нётер, связанные с трансляционной симметрией WS, но мы не будем останавливаться на этом здесь.

Использованная литература:

1. Д. Р. Роуленд и К. Паск, Тайна пропавшего волнового импульса, Am. Дж. Физ. 67 (1999) 378 . (Совет: ACuriousMind.)

Эта извечная проблема связана с неспособностью различать ньютоновский импульс (сохраняющаяся величина, полученная с помощью теоремы Нётер из инвариантности системы при одновременном перемещении струны и любых волн на ней) и псевдоимпульс (сохраняющаяся величина, полученная с помощью Нётерса). теорема из инвариантности системы относительно переноса волн, в то время как сама струна не переводится) Псевдоимпульс определяется выражением$-\rho \partial_x y \partial_t y$. Он сохраняется только в том случае, если плотность струны не зависит от$x$. Сохранение псевдоментума можно вывести из волнового уравнения, которое не требует знания упругих констант, таких как модуль Юнга.

Любое реальное возмущение струны также возбудит продольные волны, распространяющиеся со скоростью, зависящей от модуля Юнга. Это объясняется в упомянутой выше статье Макинтайра. Это также обсуждается Пайерлсом в его книге «Сюрпризы теоретической физики» под заголовком «Что такое импульс фонона». Оказывается, псевдоментум более полезен, чем фактический ньютоновский импульс, поскольку именно изменения в псевдоментуме соответствуют силам.

См. мою статью «Фононы и силы: импульс против псевдоимпульса в движущихся жидкостях», arXiv:cond-mat/0012316 .