Вывод скорости поперечной волны для малых амплитуд

введите описание изображения здесь

Это вывод уравнения скорости волны из моего учебника по физике. Однако я читал в Интернете, что это уравнение верно только для волн с малой амплитудой. Я не вижу, где это предположение сделано в выводе, так почему уравнение верно только для малых амплитуд?

введите описание изображения здесь

На приведенном выше рисунке показано, что вертикальная восстанавливающая сила должна быть 2*T*sin(phi).

Ответы (2)

Объяснение не очень полное. Как вы правильно заметили, вы берете ограничение, поэтому предположение грех ⁡ θ → θ как дельта г → 0 становится точным. Таким образом, уравнение 16-23 не содержит аппроксимации.

Предположение тонко вкрадывается, когда кто-то предполагает, что сила, рассчитанная в уравнении 16-23, находится под прямым углом к г ось. То есть, что г у / г г мала, так что нормаль к касательной к кривой остается на диаграмме приблизительно вертикальной. Лучший способ понять все это — составить более точное уравнение; то вертикальная составляющая силы, восстанавливающая малую длину г с строки

Т ∂ θ потому что ⁡ θ "=" г с Т ∂ θ ∂ с потому что ⁡ θ "=" г с Т ∂ 2 у ∂ г 2 1 ( 1 + ( ∂ у ∂ г ) 2 ) 2

(напоминая, что ∂ θ ∂ с это кривизна струны, а затем с помощью формулы для кривизны) и ТОГДА вы аппроксимируете это ∂ у ∂ г ≪ 1 и, что то же самое, г г "=" г с . Тогда приближение малой амплитуды является косвенным: мы прямо предполагаем малые градиенты, которые подразумевают и подразумеваются малыми амплитудами, учитывая, что мы знаем, что длина волны ограничена.

Как вы получили исходное уравнение T dtheta cos(theta)? На последнем этапе следует возвести знаменатель в степень 3/2? Вы заменили cos(theta) на cos(0), так как theta мала? Разве мы не можем создать силу под прямым углом к ​​оси z, сделав ds маленьким? Мы знаем, что касательная в середине плоская, поэтому сила натяжения будет примерно плоской, если мы останемся около середины, верно?
Формула просто такая же, как 16-23 в вашем тексте с потому что ⁡ θ добавлено для учета того факта, что сила не идеально вертикальна, а искажена градиентом струны. И ты прав насчет пропажи 3 / 2 сила, я теперь вернул его во всей красе (он умножает потому что ⁡ θ фактор, чтобы стать степенью двойки теперь в знаменателе на правой стороне). Кроме того, вы не можете приложить силу под прямым углом во всех точках: вспомните, что струна считается идеально сгибаемой, а это означает, что она не может сопротивляться сдвигу и может создавать натяжение только по касательной.
разве грех (тета) в учебнике уже не объясняет перекос?
@roobee Нет, это просто измерение длины дуги. Я, вероятно, должен был использовать другой символ из θ ; в книге это просто угол, образуемый отрезком струны в центре кривизны, и мы должны использовать второй символ, скажем ф , чтобы измерить перекос.
Я добавил картинку в свой вопрос. Я заменил тета на фи. Это показывает, что вертикальная составляющая силы равна 2*T*sin(phi), так что разве это не показывает, что sin(phi) объясняет перекос?

Сразу же в уравнении (16-23) предполагается, что восстанавливающая сила является линейной по смещению. Это верно только для небольших перемещений.

Вы имеете в виду, где грех (тета) меняется на тета? Если да, то я думал, что это потому, что тета была маленькой из-за маленького сегмента, а не потому, что амплитуда была маленькой.
Нет я не. Я имел в виду приближение, которое т принимается за константу, тогда как мы знаем, что натяжение будет увеличиваться по мере растяжения струны. Однако, как вы теперь видите, это еще не все.
Вывод скорости поперечной волны для малых амплитуд
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v