Как пространство-время становится локально лоренцевым в центре большой массы?

Отвечая на поднятые здесь вопросы , мы пытаемся прояснить, что значит быть «локальным» и «плоским». В первой главе «Гравитации» автор(ы) заявляют:

Геометрия пространства-времени везде локально лоренцева.

Я могу визуализировать это. Если я нахожусь в 8 световых минутах от большой звезды, я, очевидно, могу видеть кривизну на пути планеты вокруг этой звезды, но если я буду делать все меньшие и меньшие измерения с меньшей продолжительностью, так что во всех смыслах и целях я измеряю точку на геодезической вокруг этой звезды, то любой эксперимент, который я провожу с тестовыми частицами, будет соответствовать предсказаниям лоренцевской геометрии.

Но я не следую этой логике, если провожу эксперимент в центре этой массы. Если я проведу свой эксперимент в центре этой звезды, то независимо от того, насколько маленькой я сделаю свою лабораторию, даже достаточно маленькую, чтобы ее можно было считать точкой, я все равно буду видеть кривизну вокруг себя.

Как геометрия пространства-времени является локально плоской в ​​точном центре чрезвычайно большой массы?

Редактировать: Пытаясь понять это утверждение из Gravitation , я пытаюсь понять, как локальная геометрия может быть не плоской. Образ геодезических вокруг сингулярности пришел на ум как недифференцируемое место на многообразии. Это контекст вопроса.

Фраза «центр кривизны» не имеет в ОТО никакого значения. В общем, пространство-время локально плоско в каждой точке и имеет кривизну в каждой точке. В этом нет противоречия, потому что, как неоднократно объяснялось в ответах на ваши прошлые вопросы, « локально плоский» сильно отличается от «плоского».
Я надеюсь, что вы сможете сделать шаг назад и оценить, насколько противоречивым кажется это утверждение тому, кто пытается разобраться в этом предмете.
Пространство-время как многообразие локально плоско в центре большой массы, потому что также существует касательное пространство с лоренцевской метрикой.
Интуитивно должно быть очевидно, что поверхность Земли «локально плоская», но не «плоская». Пространство-время работает точно так же, но в четырех измерениях вместо двух.
Мне кажется несколько странным, что место, где вас больше всего беспокоит локальная плоскостность пространства-времени — центр массивного тела — это место, где в ньютоновской физике его гравитационная сила равна нулю .
@ G.Smith - « Центр массивного тела - это место, где в ньютоновской физике его гравитационная сила равна нулю ». Неплохо подмечено. Ускорение максимально на поверхности звезды и возвращается к нулю в центре. В этот момент он дифференцируем. Я думал о черной дыре, в центре которой находится недифференцируемая сингулярность.
Обратите внимание, что хотя сила равна нулю в центре, кривизна — нет. Правая часть уравнений поля Эйнштейна (тензор энергии-импульса) там отлична от нуля, поэтому левая часть (тензор кривизны Эйнштейна) отлична от нуля.
@ G.Smith - Применяется ли та же логика к сингулярности?
Я думаю, что различные инварианты кривизны становятся бесконечными по мере приближения к сингулярности (это означает, что по крайней мере некоторые компоненты кривизны становятся бесконечными). Я не знаю, как думать о тензоре энергии-импульса в сингулярности. Я предполагаю, что это не имеет математического смысла, но я позволю кому-нибудь другому вмешаться в это.
@G.Smith - Спасибо. Мне (возможно, другим) полезно понять, что означает «локально плоский», понимая, как что-то может не быть «локально плоским». Продолжение этого обсуждения ниже.
Из физика . _ _ делать много нетривиальных вещей, чтобы определить вещи, которые было бы тривиально определить для набора точек.Например, формальное определение времениподобной сингулярности сложно, потому что оно должно быть записано в терминах световых конусов соседних точек. " (выделено мной)

Ответы (1)

Фраза «тогда, независимо от того, насколько маленькой я сделаю свою лабораторию, даже сделав ее достаточно маленькой, чтобы ее можно было считать точкой, я все равно буду видеть кривизну вокруг себя» всегда верна, независимо от того, как далеко вы находитесь от любой звезды. .

Пространство-время локально лоренцево подобно тому, как парабола может быть локально аппроксимирована линией. Ни в какой конечной области вы не обнаружите, что парабола конгруэнтна прямой (если, конечно, это не вырожденная парабола). Но вам гарантировано, что вы сможете найти прямую, совпадающую с параболой в одной точке и с таким же наклоном.

Точно так же вы гарантированно найдете лоренцеву метрику и связность, совпадающие в одной точке с гравитационным многообразием.

Позвольте мне использовать это место, чтобы продолжить нить мысли в исходном посте здесь. Если бы масса была настолько велика, что вызвала бы сингулярность, была бы на этом многообразии недифференцируемая точка? Будет ли геометрия в этой точке локально лоренцевской?
В существенной особенности метрика и связность по определению сингулярны и, следовательно, не имеют значения, которое вообще можно было бы считать локально лоренцевым. Но в обычной звезде нет существенной сингулярности. Вероятно, координатная сингулярность, но тогда всегда можно выбрать подходящие координаты, чтобы она исчезла.
Спасибо. Между вами и Г. Смитом я понял, что 1.) Я путал координатную сингулярность с физической сингулярностью. Это можно исправить, выбрав другой набор координат. 2.) Геодезические вокруг нормальной массы дифференцируемы, они не приближаются к физической сингулярности в центре массы. 3.) Локальная геометрия пространства-времени не является лоренцевой в сингулярности. Я правильно понял?
@GluonSoup: что касается 3): возьмите простую гиперполу ф ( Икс ) "=" 1 / Икс в качестве базовой метафоры: вы не можете аппроксимировать его линией на Икс 0 "=" 0 потому что это потребует ф ( Икс 0 ) и ф ′ ( Икс 0 ) быть определены. Напротив, ф ( Икс ) "=" Икс 2 / Икс также единственное число в Икс 0 "=" 0 , но эта особенность устранима (аналогично координатной особенности), и тогда вы можете аппроксимировать ее Икс в Икс 0 "=" 0 даже если он там не определен. Населенный пункт в л о с а л л у л о р е н т г я а н определяется метрикой и ее производными/связью. Если они не определены в точке интереса, у вас проблемы с применением этого определения.
что касается 2) если вы понимаете под «нормальной массой» протяженную массу, а не точечную массу, то метрика, связность и геодезические дифференцируемы, и поэтому имеет смысл (и верно) говорить о том, что они локально лоренцевы.
Как пространство-время становится локально лоренцевым в центре большой массы?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v