Отличить пространство-время от плоского пространства

Вы правы в том, что если вы получите тождественный нуль для всех компонент тензора Римана, все инварианты, полиномиальные или нет, также будут равны нулю. Различать плоское пространство-время можно разными способами, вот два. Ясно, что другой вариант — найти преобразование координат в пространство-время Минковского. Вы можете использовать любой из них.

Что более важно в пространстве-времени VSI и пространстве-времени Кундта, так это то, что они обладают некоторыми интересными и полезными физическими свойствами. Они поддавались классификации и служили лабораторией для изучения различных вакуумных и даже невакуумных растворов особых типов. Это включает гравитационные, а также электромагнитные волновые точные решения.

В статье 2002 года на https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0209024v1.pdf найдены все пространства-времени с исчезающими инвариантами кривизны, что означает все полиномиальные исчезающие инварианты или скаляры. Они обсуждают различные причины, почему они важны. Все или большинство из них представляют собой пространство-время с особыми геометрическими алгебраическими свойствами и имеют некоторый физический смысл.

Алгебраически специальное пространство-время относится к пространствам-временям типа Петрова III, N или O, которые классифицируются таким образом в зависимости от того, сколько нулевых собственных векторов имеет тензор Вейля. О классификациях Петрова см. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Petrov_classification , а о тензоре Вейля см. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Weyl_tensor .

Тензор Вейля — единственная часть тензора Римана, которая отлична от нуля в вакуумном пространстве-времени. Он передает информацию о том, как искажается пространство-время. Тензор Риччи, след тензора Римана, определяется уравнениями поля Эйнштейна, которые связывают его с тензором энергии-импульса, дает информацию об изменениях объема пространства-времени и равен нулю в вакууме. Неплоский вакуум имеет ненулевой тензор Вейля. Для упомянутых выше типов Петрова существуют решения VSI. В упомянутой выше статье 2002 г. указаны все решения VSI (находятся выражения для всех метрик и функций с решаемыми уравнениями, обозначающими различные решения).

Наиболее известным из таких решений является решение для pp-волн, когда параллельные плоские волны заполняют пространство-время. Они физически интересны сами по себе, как плоские волны в квантовой теории поля, и обладают тем интересным свойством, что два таких решения могут быть сложены, если они имеют общее направление движения, поэтому они демонстрируют своего рода линейность. Те и некоторые другие специальные решения VSI обладают уникальными ценными свойствами для квантовой гравитации. Рр-волны, например, также являются решениями теории струн и обобщенными версиями теории суперструн и действительны для всех порядков возмущения натяжения струны. Другие решения имеют исчезающие поправки до двух петель, а затем исчезают все поправки ко всем порядкам петель.

Таким образом, они имеют значение независимо от того, используете ли вы неполиномиальные инварианты или нет.