Как вычислить объем в искривленном пространстве?

Question

Как вычислить объем в искривленном пространстве?

Удаление Барьера

Объем шара в плоском пространстве равен:

В "=" \frac{4}{3} π р^{3} .

$V = \frac{4}{3}\pi r^3.$

В искривленном пространстве, $r$ сам по себе зависит от положения, поэтому в сферических координатах

р "=" р (р, ф, θ) .

$r=r(r, \phi, \theta) .$

Предполагая сферическое симметричное пространство-время, например метрику Шварцшильда:

д с^{2} "=" - Б с^{2} д т^{2} + А д р^{2} + р^{2} д Ом .

$ds^2=-Bc^2dt^2+Adr^2+r^2d\Omega.$

$r$ не зависит от $\phi$ и $\theta$ , следовательно, мы можем написать

р "=" р (р) .

$r=r(r).$

Выглядит просто, но меня совершенно смущает, так как я не понимаю, как рассчитать $r$ от $r$ сам.

Хорошо, чтобы вычислить объем сферы вокруг точки, нужно вычислить интеграл от $V$ , и в качестве $r$ зависит от должности, я бы предложил записать

Что-то вроде $V = \int\!f(A, r)\,dr$

Но я не знаю, как это выглядит в деталях... Не могли бы вы мне помочь?

Дж. Г.

Диапазон интегрирования с точки зрения

r, θ, ϕ

$r,\,\theta,\,\phi$ неизменен; тоже ничего особенного"

r

$r$ с точки зрения

r

$r$ поведение (это по-прежнему функция идентификации). Часть, которая меняется, — это элемент объема: вместо того, чтобы быть

d^{3} x = r^{2} d r \sin θ d ϕ

$d^3x=r^2dr\sin\theta d\phi$ , вам также понадобится

\sqrt{| det g_{i j} |} = \sqrt{| A |}

$\sqrt{|\det g_{ij}|}=\sqrt{|A|}$ фактор.

Удаление Барьера

Выглядит неплохо! Большое спасибо! Почему бы вам не указать это в ответе?

Дж. Г.

Я буду через несколько минут. Я думаю, что я сделаю метрику Шварцшильда в качестве рабочего примера.

Ответы (1)

Как вычислить объем в искривленном пространстве?

Диапазон интегрирования с точки зрения $r,\,\theta,\,\phi$ неизменен; тоже ничего особенного" $r$ с точки зрения $r$ поведение (это по-прежнему функция идентификации). Часть, которая меняется, — это элемент объема: вместо того, чтобы быть $d^3x=r^2dr\sin\theta d\phi$ , вам также понадобится $\sqrt{|\det g_{ij}|}=\sqrt{|A|}$ фактор.
Выглядит неплохо! Большое спасибо! Почему бы вам не указать это в ответе?
Я буду через несколько минут. Я думаю, что я сделаю метрику Шварцшильда в качестве рабочего примера.

Дж. Г. · Answer 1

Объем радиуса- $R$ сфера $\int_{S^2}d\Omega\int_0^Rr^2\sqrt{|A|}dr$ . Это упрощается в случае сферической симметрии $\sqrt{|A|}$ , к $4\pi\int_0^Rr^2\sqrt{|A|}dr$ . Например, если сфера сосредоточена на массе в метрике Шварцшильда, $A=\frac{r}{r-r_s}$ . Для эмпирически интересного случая $R>r_s$ , результирующий интеграл довольно дьявольский, но если $R\gg r_s$ (так регион $r\in[0,\,r_s]$ является лишь относительно небольшим вкладом) легко получить поправку первого порядка:

р^{2} (\sqrt{| А |} - 1) "=" р^{2} ((1 - р_{с} / р)^{- 1 / 2} - 1) \approx \frac{1}{2} р_{с} р,

$r^2\left(\sqrt{|A|}-1\right)=r^2((1-r_s/r)^{-1/2}-1)\approx\tfrac12r_sr,$ который под оператором интегрирования

4 π \int_{0}^{R} d r

$4\pi\int_0^Rdr$ добавляет избыточный объем первого порядка

2 π р_{с} \int_{0}^{р} р д р "=" π р_{с} р^{2} .

$2\pi r_s\int_0^Rrdr=\pi r_sR^2.$ В частности, относительный избыточный объем первого порядка равен

\frac{3 r_{s}}{4 R}

$\tfrac{3r_s}{4R}$ . (на-

r

$r$ относительный избыточный бесконечно малый объем первого порядка, который на самом деле представляет собой относительную избыточную площадь поверхности, равен

\frac{r_{s}}{2 r}

$\tfrac{r_s}{2r}$ , как обсуждалось, например, здесь .)

Как вычислить объем в искривленном пространстве?

Удаление Барьера

Дж. Г.

Удаление Барьера

Дж. Г.

Ответы (1)

Дж. Г.

Приложения общей теории относительности, отличные от гравитации

Разные подписи

Локально-плоские координаты и символы Кристоффеля

Любые советы по оценке тензора Римана?

Ненулевые компоненты тензора Римана для метрики Шварцшильда

(Скалярная) Риччи-плоскость метрики

Внешняя кривизна в пространстве Шварцшильда

Какой тензор описывает кривизну четырехмерного пространства-времени?

Почему псевдоевклидовой геометрии было недостаточно для общей теории относительности?

Уточнение того, какая метрика считается плоским пространством