Как рассчитать дельта-v, необходимую для суборбитальной «переброски» льда с полюса Марса на экватор?

Заданный угол разделения$θ$, масса тела$M$и радиус тела$r$, прежде чем найти дельту-V, мы должны найти большую ось эллипса, а точнее половину его длины (расстояние от центра эллипса до крайней точки):

$a = {(1+\sin{θ \over 2}) }{r\over2 }$

Учитывая это, дельта-V задается следующим уравнением:

$\Delta v = \sqrt {G M ({2 \over r} - { 1\over a})}$

Запуск должен производиться под углом$\alpha$:

$\alpha ={{\pi-θ}\over 4 }$

Для посадки с двигателем удвойте требования delta-V.

Кредит принадлежит блогу Хопа - Путешествие по безвоздушным мирам . Статья содержит вывод приведенных выше уравнений и ссылку на полезную электронную таблицу , где вы можете рассчитать параметры прыжка для любого небесного тела и любого выбранного угла разделения:

Для полета от полюса к экватору (угол разделения 90 градусов) на Марсе стартовая дельта-V составит 3228 м/с. Запуск будет оптимально выполнен при температуре 22,5 градуса.

Самое близкое решение, которое я могу найти, взято из книги Хейла (1994) «Введение в космический полет», где в главе 9 обсуждаются уравнения дальности для таких баллистических тел. Он выводит уравнение

куда

— безразмерная величина, которая грубо измеряет удвоенное отношение кинетической энергии к потенциальной в точке выгорания (индекс «бо»).$\mu$является стандартным гравитационным параметром и$\Psi$угол дальности и$\phi_{bo}$это угол запуска.

То, что вы хотите, это иметь$\Phi=90^0$и$r_{bo}=$радиус марса, предполагая импульсную тягу на поверхности планеты. Затем вы можете играть со скоростью выгорания и углом запуска, пока не получите приемлемое решение. Обратите внимание, что даже если многие углы запуска дадут скорость выгорания, не все будут. Тем не менее, некоторые решения неосуществимы, потому что они могут, например, полагаться на орбиту, проходящую через внутреннюю часть планеты.

Имейте в виду, что это уравнение основано на множестве упрощающих предположений: невращающаяся земля, отсутствие атмосферы, сферическая планета, симметричная траектория и незначительная дальность свободного падения.

Ответ опубликован @SF. на основе блога Хопа проверяет!

Вот числовая проверка. Это не красиво, но продолжение орбит (показанных как для Марса, так и для Земли ) в течение 55% их периода красиво пересекает 90 градусов от точки наблюдения, ура!

body    a(km)   dv(m/s)  alpha(deg)
-----   -----   -------  ----------
Earth   5438     7199      22.5
Mars    2893     3235      22.5

def deriv(X, t):

    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc  = -GM * x * ((x**2).sum())**-1.5

    return np.hstack((v, acc))

def Hops_hop(theta, R, GM):

    a = (1. + np.sin(0.5*theta)) * 0.5 * R

    dv = np.sqrt(GM * (2./R - 1./a))

    alpha = 0.25 * (pi - theta)

    return a, dv, alpha

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint as ODEint
import matplotlib.pyplot as plt

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]

# standard gravitational parameter
GMe = 3.986E+14  # m^3/s^2
GMm = 4.283E+13  # m^3/s^2

Re  = 6371000.    # meters
Rm  = 3389500.    # meters

pairs = (Re, GMe), (Rm, GMm)

theta = halfpi  # 90 degrees

answers = []
for R, GM in pairs:

    a, dv, alpha = Hops_hop(theta, R, GM)

    T    = twopi * np.sqrt(a**3/GM)
    time = np.linspace(0, 0.55*T, 500)

    x0 = R  * np.array([ np.sin(0.5*theta),  np.cos(0.5*theta)])
    v0 = dv * np.array([ np.cos(alpha),     -np.sin(alpha)    ])
    X0 = np.hstack((x0, v0))

    answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

    answers.append(answer)

theta = np.linspace(0, twopi, 361)
unit_circle = [f(theta) for f in (np.cos, np.sin)]
sqrt2       = np.sqrt(2.)

if True:
    plt.figure()
    for answer, (R, GM) in zip(answers, pairs):
        x, y = answer.T[:2]
        plt.plot(x, y)
        plt.plot(x[:1], y[:1], 'ok')
    for answer, (R, GM) in zip(answers, pairs):
        x, y = [R*thing for thing in unit_circle]
        plt.plot(x, y, '-k')
    plt.plot([0, Re/sqrt2], [0,  Re/sqrt2], '-k')
    plt.plot([0, Re/sqrt2], [0, -Re/sqrt2], '-k')
    plt.show()