Как рассчитать количество ночного времени в полете?

Ответ на этот вопрос включает довольно много сферической тригонометрии . Вызов$(\lambda_1,\varphi_1)$долгота и широта места отправления и$(\lambda_2,\varphi_2)$координаты пункта назначения. Предположим, что самолет движется по большому кругу. Тогда он пройдет полный угол$\theta$, заданный

$$\cos\theta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\lambda_2-\lambda_1).$$ Если $\theta$выражается в радианах, тогда соответствующее расстояние равно $D=\theta R_\oplus$, с $R_\oplus$радиус Земли. Предположим, что общее время полета равно $T$, и что самолет летит с постоянной скоростью. Если $t$время с момента взлета, то $$\begin{align} \theta_1 &= \theta t/T,\\ \theta_2 &= \theta -\theta_1, \end{align}$$ где $\theta_1$угол, на который проходит самолет за время $t$, пока $\theta_2$это угол, который еще должен пройти самолет. Вовремя $t$, тогда плоскость окажется над локацией $(\lambda,\varphi)$, заданный $$\begin{align} \cos\theta_1 &= \sin\varphi_1\sin\varphi + \cos\varphi_1\cos\varphi\cos(\lambda-\lambda_1),\\ \cos\theta_2 &= \sin\varphi_2\sin\varphi + \cos\varphi_2\cos\varphi\cos(\lambda-\lambda_2), \end{align}$$ из которого $(\lambda(t),\varphi(t))$можно получить (после некоторых утомительных вычислений).

Если мы знаем Грин, что означает солнечное время $t_0$в момент отправления, то можно получить часовой угол $H_\odot(t)$Солнца в$(\lambda(t),\varphi(t))$:

$$H_\odot(t) + 12^\text{h}=t_0 +t + \lambda(t)\qquad\text{(modulo $24^\text{h}$)},$$ где все переменные выражены в часах, минутах и ​​секундах (и $360^\circ$соответствует $24^\text{h}$). Нам также нужно знать склонение Солнца. $\delta_\odot$во время полета (поэтому нам нужно знать дату).

Высота Солнца $a_\odot(t)$над местным горизонтом тогда

$$\sin a_\odot(t) = \sin\varphi(t)\sin\delta_\odot + \cos\varphi(t)\cos\delta_\odot \cos H_\odot(t)$$ (см. вики-страницу о небесных координатах ). Закат и восход соответствуют $a_\odot=0^\circ$ на земле (без учета атмосферной рефракции). Используя простую тригонометрию, легко показать, что с точки зрения самолета на высоте $h$, закат и восход солнца произойдут, когда $$a_\odot= -\cos^{-1}(R_\oplus/(R_\oplus+h)).$$

Одним из вариантов было бы построить курс полета в виде набора дискретных точек и проверить, день сейчас или ночь в каждой точке пути, чтобы определить, когда полет входит / выходит из тени Земли. Точность будет ограничена размером вашего приращения времени, но выполнение проверки один раз в минуту на компьютере не должно быть проблемой.

Для получения высокоточного результата вам нужно программировать в реальных коридорах полета; но для грубой оценки в большинстве случаев будет достаточно кратчайшего прямого маршрута.