Как рассчитать планетарную равновесную температуру в бинарных системах

Мощность, излучаемая планетой, если предположить, что она имеет одинаковую температуру по всей своей поверхности:

$$P_{\mathrm{rad}}=\epsilon\sigma T_{\mathrm{eq}}^4 \cdot 4\pi R_{\mathrm{pl}}^2$$

Где$\epsilon$это коэффициент излучения (чтобы соответствовать формуле в вопросе, установите это значение равным 1),$\sigma$постоянная Стефана -Больцмана ,$T_{\mathrm{eq}}$- равновесная температура, а$R_{\mathrm{pl}}$это радиус планеты.

Мощность, поглощаемая планетой от звезд, если предположить, что она находится достаточно далеко от каждой звезды, что ее освещение незначительно за пределами 90 ° от подзвездной точки:

$$P_{\mathrm{abs}}=\sum_i{f_i\left(1 - A_i\right) \cdot \pi R_{\mathrm{pl}}^2}$$

Где$f_i$это поток от$i$ая звезда и$A_i$- планетарное альбедо по отношению к$i$й звезды (может быть иначе, потому что отражательная способность будет зависеть от длины волны, а температура звезды влияет на то, какие длины волн излучаются).

Итак, приравняйте излучаемую и поглощаемую мощность и переставьте:

$$T_{\mathrm{eq}} = \left[ \frac{\sum_i{f_i\left(1-A_i\right)}}{4\epsilon\sigma} \right]^{1/4}$$

Ограничение здесь состоит в том, что потоки будут меняться во времени из-за изменения расстояния планеты от звезд (то же самое относится к планете на эксцентрической орбите вокруг одной звезды), и нетривиально выяснить, как усредните это. Настоящей планете понадобится время, чтобы нагреться и остыть, и за это время изменятся расстояния и потоки.

Так что относитесь к числам, которые вы получаете из этого расчета «равновесной температуры», с щепоткой соли.

---

В соответствии с просьбой, вот несколько примеров расчетов. Во-первых, проверка здравомыслия: Земля. Принимая 1361 Вт/м ² за значение солнечной постоянной и используя альбедо 0,3 и коэффициент излучения 1, температура получается как

$$T_{\mathrm{eq}} = \left[\frac{1361\ \mathrm{W\!\cdot\!m^{-2}\,\times \left(1-0.3\right)}}{4 \times 1 \times \left(5.6704 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\!\cdot m^{-2}\!\cdot\!K^{-4}} \right)}\right]^{1/4} \approx 255\ \mathrm{K}$$

Немного прохладно, но не так уж и плохо: парниковый эффект делает реальную Землю теплее, что можно учесть с помощью коэффициента излучения.$\epsilon < 1$.

Теперь для примера в вашем вопросе с потоками 1344 Вт/м ² и 92 Вт/м ² . Давайте также предположим, что в то время как первая звезда похожа на Солнце (поэтому я оставлю значение 0,3 для альбедо), вторая звезда холоднее Солнца. Эта звезда излучает больше света в красном цвете, где планета имеет меньшую отражательную способность. Я буду использовать альбедо 0,25 для этой звезды.

Расчет выполняется следующим образом (отбрасывая единицы измерения на шаге расчета для экономии места):

$$T_\mathrm{eq}=\left[\frac{1344\times\left(1-0.3\right) + 92\times\left(1-0.25\right)}{4\times1\times\left(5.6704\times10^{-8}\right)}\right]^{1/4} \approx 258\ \mathrm{K}$$

Надеюсь, это поможет!