Как рассчитать силу гравитации, которая хочет сжать звезду?

Основной концепцией здесь является гидростатическое равновесие .

Если рассмотреть тонкую пластину материала плотностью$\rho$и толщина$\Delta r$в звезде. Он имеет давление$P$ниже плиты и давление$P + \Delta P$над плитой. Вес плиты будет$\rho g A \Delta r$, где$A$площадь, покрытая плитой и$g$- местное значение силы тяжести. Чтобы удерживать плиту в равновесии, вам необходимо уравновесить этот вес силой, действующей вверх на плиту из-за разницы давлений между верхом и низом. то есть

$$\rho g\ A\ \Delta r = -\Delta P\ A$$ Таким образом $\rho g\ \Delta r = -\Delta P$и в качестве $\Delta r \rightarrow 0$, мы можем сказать $$\frac{dP}{dr} = -\rho(r) g(r) = - \rho \frac{GM(<r)}{r^2},$$ где $\rho(r)$и $g(r)$являются функциями радиуса внутри звезды и $M(<r)$это масса, содержащаяся в радиусе $r$.

Для решения этого дифференциального уравнения требуется самосогласованное решение уравнений строения звезды (с участием уравнений генерации и переноса энергии), поскольку давление также зависит от температуры и состава.

Чтобы добиться прогресса в этом завуалированным способом, требуются некоторые огромные упрощения, а именно предположение о том, как плотность зависит от радиуса. Если предположить, что плотность постоянна (ужасно, но она дает правильные пропорции), то

$$\frac{dP}{dr} = - \frac{G \rho}{r^2} \frac{4\pi}{3} \rho r^3$$ $$\int^{0}_{P(r)} dP = - \frac{4\pi G \rho^2}{3} \int^{R}_{r} r\ dr,$$ где $P=0$на поверхности звезды, где $r=R$.
$$P(r) = \frac{2\pi G \rho^2}{3} (R^2 - r^2)$$

Тогда мы могли бы выразить это через массу звезды.$M$отметив, что$\rho =3M/4\pi R^3$

$$P(r) = \frac{2\pi G}{3}\left(\frac{3M}{4\pi R^3}\right)^2 (R^2 - r^2) = \frac{3G}{8\pi}\left(\frac{M^2}{R^4}\right)\left(1 -\frac{r^2}{R^2}\right),$$ и центральное давление (при $r=0$) было бы $$P(0) = \frac{3G}{8\pi} \left(\frac{M^2}{R^4}\right)$$

Пропорциональность здесь верна, но сравнение с реальной звездой, такой как Солнце, показывает, что, хотя среднее давление приемлемо, центральное давление на пару порядков ниже, потому что плотность Солнца не постоянна - давление и плотность намного выше в центре.

То, о чем вы просите, называется гравитационным коллапсом.

Гравитационный коллапс — это уплотнение астрономического объекта из-за влияния его собственной гравитации, которая стремится притянуть материю внутрь к центру масс. Гравитационный коллапс является фундаментальным механизмом структурообразования во Вселенной. Со временем первоначальное относительно гладкое распределение материи схлопнется, образуя карманы более высокой плотности, обычно создавая иерархию конденсированных структур, таких как скопления галактик, звездные группы, звезды и планеты.

Ссылка: https://en.wikipedia.org/wiki/Gavitation_collapse

Чтобы получить более математический ответ , ознакомьтесь с термином давления в уравнении Эйнштейна здесь: http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/node6.html .

Обновлять:

Месса Джин

Концепция массы Джина как критической массы для коллапса в звезду является важной концепцией. «Масса Джина» — это минимальная масса, способная преодолеть радиационное давление при заданной плотности энергии излучения.

Теорема вириала

Гравитацию можно применить к конечному набору частиц, которые взаимодействуют друг с другом за счет гравитационного притяжения. Мы можем приписать набору частиц полную гравитационную потенциальную энергию и полную кинетическую энергию. Теорема вириала утверждает, что

Средняя кинетическая энергия =$\boldsymbol {-\frac {1}{2} \times}$ Средняя потенциальная энергия

Одним из приложений этой теоремы может быть известная масса газообразного водорода в протозвезде. Если бы у вас была хорошая оценка массы газа и вы могли бы измерить выборку скоростей частиц, чтобы определить кинетическую энергию, то вы могли бы предсказать кинетическую энергию, когда газовое облако подверглось гравитационному коллапсу. Таким образом, для заданного радиуса коллапса вы можете сделать прогноз температуры газообразного водорода с точки зрения кинетической энергии и сделать прогноз о том, когда он достигнет температуры воспламенения для синтеза водорода.