Как найти массу, участвующую в термоядерных реакциях в центре звезды?

Уравнения, на которые ссылается Countto10, являются уравнениями звездной структуры, которые описывают, как давление ($P$), светимость ($L$), температура ($T$), и вложенная масса ($M$) изменение по радиусу$r$в звезде ¹ :

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\rho(r)\tag{Mass}$$ $$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM_r\rho(r)}{r^2}\tag{Pressure}$$ $$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\epsilon(r)\tag{Luminosity}$$ $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{3\rho(r)\kappa(r)}{64\pi r^2\sigma[T(r)]^3}L(r)\tag{Temperature}$$ $\epsilon$, $\rho$и $\kappa$- скорость генерации энергии, плотность и непрозрачность соответственно. Все остальные символы являются константами. Это связанные дифференциальные уравнения, поэтому их нужно решать численными методами , а не аналитическими, которые мы могли бы использовать для «нормальных» дифференциальных уравнений. Одним из самых простых распространенных методов является метод подгонки . Мы знаем это $M(r=0)=0$и $L(r=0)=0$, но мы не знаем $P(r=0)$и $T(r=0)$. Тем не менее, мы можем определить значения $P$и $T$на поверхности.

Мы можем догадаться, что$L$и$M$будет на поверхности и что$P$и$T$будет в центре звезды. Затем мы «интегрируем» как внутрь, так и наружу, пока не достигнем «точки подгонки», и проверяем, совпадают ли уравнения. Если они этого не сделают, мы все равно можем внести некоторые коррективы и повторить процесс. Есть и другие хитрости, которые делают процесс интереснее и уж точно быстрее. В конце концов, у вас есть описание того, как все эти переменные изменяются с радиусом внутри звезды. Затем вы можете выяснить, сколько массы, например, содержится в определенной области, и если мы сможем вычислить внешний радиус области, где происходит первичный ядерный синтез, мы сможем найти$M$в этом радиусе. Это дает вам результат, который вы ищете.

Все это очень сложно, и я, наверное, не стал делать вещи проще. Это нормально; процесс действительно не простой. Что-то более практическое может убедить вас в силе некоторых из этих предположений. Мы можем аппроксимировать звезду, предположив, что она политропа , то есть что ее давление и плотность связаны некоторой простой формулой. После некоторых математических экспериментов мы в конце концов приходим к простому дифференциальному уравнению, называемому уравнением Лейна-Эмдена :

$$\frac{1}{\xi^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\xi^2\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\xi}\right)=-\theta^n$$ ак! Больше переменных! $\xi$известен как безразмерный радиус , потому что он масштабируется линейно с $r$. $\theta$является функцией $\xi$, и $P$, $\rho$и $T$все функции $\theta$. Итак, если мы решим это дифференциальное уравнение, мы сможем получить действительно интересные оценки структуры звезды! ²

У меня был какой-то старый код Python для метода Рунге-Кутты четвертого порядка , и я использовал его для численного интегрирования уравнения Лейна-Эмдена (хотя я не использовал большой размер шага). Затем я нанес на график температуру, плотность и давление звезды, разделенные на их центральные значения:

Посмотрите, как быстро они падают!$\theta=0$только что закончилось$\xi=6$, так что примерно на полпути через звезду условия сильно отличаются от условий в центре. Это как бы подтверждает утверждение о том, что в ядре содержится около 10% массы Солнца.

---

¹ Уравнение для температуры действительно справедливо только при определенных условиях.
² Предположение ошибочно вблизи поверхности, но это нормально. Мы действительно заботимся только о ядре здесь.

Мы знаем уравнения, касающиеся массы/плотности, давления (как гравитационного внутрь, так и излучения наружу) и температурного профиля структуры Солнца. и они подробно описаны ниже.

Мы предполагаем простейший случай сферически-симметричной квазистатической модели. Квазистатический процесс подразумевает, что звезда претерпевает изменения с достаточно низкой скоростью, чтобы система могла поддерживать внутреннее термодинамическое равновесие.

Солнце и другие звезды главной последовательности находятся в сбалансированном состоянии между гравитацией, вызывающей сжатие, и радиационным давлением от источника энергии в ядре, а также давлением газа вещества Солнца, противодействующим внутренней силе. .

Простейший случай большого плотного облака газа, такого как Солнце, требует 4 дифференциальных уравнений первого порядка: два из них описывают, как давление и масса газообразного водорода реагируют на изменения радиуса, то есть как давление и масса меняются по мере движения. от поверхности звезды к ядру. Два других дифференциальных уравнения имеют дело со светимостью (энергией, выделяемой звездой) и температурой, а также с тем, как эти переменные реагируют на уменьшение радиуса.

Мы используем следующие переменные:

Плотность вещества${\displaystyle \rho (r)}$
Температура${\displaystyle T(r)}$
Полное давление (материя плюс излучение)${\displaystyle P(r)}$
светимость${\displaystyle l(r)}$
вместе с переменной, представляющей скорость выработки энергии на единицу массы${\displaystyle \epsilon (r)}$

Примем сферическую оболочку шириной${\displaystyle {\mbox{d}}r}$На расстоянии${\displaystyle r}$от центра звезды.

Другое упрощающее предположение состоит в том, что Солнце соответствует локальному термодинамическому равновесию (ЛТР), а это означает, что температура вещества и фотонов (излучения) одинакова.

Вы могли бы отметить, что LTE не может быть хорошим приближением, поскольку чем глубже мы проникаем в Солнце, тем выше становится температура, но это предположение остается в силе, потому что расстояние, на котором изменяется температура, намного больше, чем длина свободного пробега.${\displaystyle \lambda }$фотонов, выходящих из ядра.

Как упоминалось выше, предполагается гидростатическое равновесие: направленная наружу сила из-за градиента давления внутри звезды точно уравновешивается внутренней силой из-за гравитации.

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\frac{GM_r\rho(r)}{r^2}\tag{Pressure}$

где${\displaystyle m(r)}$- совокупная масса внутри оболочки при${\displaystyle r}$и$G$— гравитационная постоянная.

Совокупная масса увеличивается с радиусом в соответствии с уравнением неразрывности массы:

$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\rho(r)\tag{Mass}$

Когда мы интегрируем приведенное выше уравнение из$r=0$(центр Солнца) до$r_s$, (несколько произвольное поверхностное расстояние), это дает общую массу Солнца.

Теперь нам нужно знать, сколько энергии выходит из сферической оболочки.

$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}r}=4\pi r^2\epsilon(r)\tag{Luminosity}$
Это уравнение энергии.

${\displaystyle \epsilon _{\nu }}$представляет собой светимость, переносимую почти без какого-либо взаимодействия в их дальнем путешествии по звезде, в виде нейтрино на единицу массы.

За пределами области синтеза ядра энергия не генерируется, поэтому светимость в этой «внешней» области постоянна.

Так как же энергия выходит из ядра через огромную массу газа/плазмы над ним?

Мы будем игнорировать кондуктивный перенос энергии и будем иметь дело с радиационным переносом энергии, который соответствует внутренней области звезды главной последовательности солнечной массы.

$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=\frac{3\rho(r)\kappa(r)}{64\pi r^2\sigma[T(r)]^3}L(r)\tag{Temperature}$

где${\displaystyle \kappa }$непрозрачность материи,${\displaystyle \sigma }$– постоянная Стефана-Больцмана , а постоянная Больцмана равна единице.

У нас нет строгой трактовки третьего вида переноса энергии, т.е. конвекции. На Солнце вблизи ядра конвекция адиабатическая (тепло не входит и не выходит из области), но ближе к поверхности конвекция не адиабатическая. Теория длины смешивания (которую можно сравнить аналогично средней длине свободного пробега фотона, но для карманов жидкости) содержит два свободных параметра, которые необходимо установить, чтобы модель соответствовала наблюдениям.

Источник (для всего этого ответа в той или иной форме) Звездная структура Википедии

Любая термодинамическая система требует уравнений состояния, которые связывают давление, непрозрачность и скорость генерации энергии с другими локальными переменными, в случае Солнца: температурой, плотностью, химическим составом и т. д. Соответствующие уравнения состояния для давления, возможно, должны будут включать закон идеального газа, радиационное давление, давление вырожденных электронов и т. д. Непрозрачность не может быть точно выражена одной формулой. Он рассчитан для различных составов при определенных плотностях и температурах и представлен в виде таблицы.

Три важных момента, которые мешают нам решить все, что связано с Солнцем, в аккуратной аналитической форме, — это численные методы, используемые для расчета непрозрачности и уравнения состояния давления. Наконец, скорость генерации ядерной энергии рассчитывается на основе ядерно-физических экспериментов.

Все дифференциальные уравнения требуют граничных условий, возможно, самым важным из которых являются значения для$r$. Поскольку давление внутри Солнца очень велико, представляется оправданным установить давление на поверхности равным нулю, а температуру поверхности Солнца легко измерить.

Таким образом, из этих уравнений мы можем оценить, какая часть массы Солнца соответствует условиям, необходимым для инициирования и поддержания синтеза.

Затем мы можем проверить наши предсказания о выходе энергии 10% массы Солнца на основе экспериментальных данных.

Теоретически мы могли бы измерить выход нейтрино, поскольку они проходят прямо через Солнце, в качестве дополнительной проверки, но на практике обнаружить нейтрино далеко не просто. Тот факт, что ранние эксперименты обнаружили только около трети от общего числа ожидаемых, был назван «проблемой солнечных нейтрино». Гиперфизика солнечных нейтрино