Как решить этот «парадокс»? Центральный потенциал

Общая проблема заключается в том, что вы не можете подставить свои уравнения движения в лагранжиан и наивно ожидать, что снова получите те же самые уравнения движения. Почему нет? Давайте посмотрим на ваш конкретный пример.

Обычную историю начнем с

$$L = \frac12 m (\dot r^2 + r^2\dot\theta^2) - V(r) .$$ Мы находим, что угловой момент, определяемый формулой $\ell=m r^2\dot\theta$, сохраняется, поэтому уравнение движения для радиальной координаты имеет вид $$m \ddot r - \frac{\ell^2}{m r^3} + \frac{\partial V}{\partial r} = 0.$$

Теперь вы хотите подключить$\ell$обратно в лагранжиан. Если мы это сделаем, у нас будет

$$L = \frac12 m \left( \dot r^2 + \frac{\ell^2}{m^2 r^2} \right) - V(r).$$ Наивно, если мы вычислим уравнение движения по этому лагранжиану, то получим противоположный знак для $\ell^2/m r^3$срок. Это неправильно!

Напомним, что когда мы вызываем$\ell$сохраняющейся величиной мы понимаем, что она постоянна во времени , т.е.$\dot\ell=0$. Выписывая в явном виде уравнения Эйлера-Лагранжа, имеем

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ \left( \frac{\partial L}{\partial\dot r} \right)_{r,\theta,\dot\theta} \right] - \left( \frac{\partial L}{\partial r} \right)_{\dot r,\theta,\dot\theta} = 0.$$ Здесь я включил напоминание о том, что когда мы берем частные производные, мы имеем в виду, что «все остальное» остается постоянным и что это «все остальное». Для рассматриваемой проблемы обратите внимание, что $$\frac{\partial\ell}{\partial r} = \frac{2\ell}{r} \ne 0$$ так что это не общая константа. Имея это в виду, мы получаем правильное уравнение движения (как и должно быть).

Craig J Copi уже дал правильный ответ. Здесь мы дадим другой ответ, основанный на формулировке Гамильтона.

1. Напомним, что лагранжиан нерелятивистской точечной частицы в центральном потенциале в двумерной плоскости имеет вид в полярных координатах

   $$L~=~\frac{1}{2}m(\dot{r}^2 +r^2\dot{\theta}^2) - V(r).$$ Здесь центробежный потенциал$V_{\rm cf}=-\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2<0$отрицательно! Отметим, что центробежный потенциал$V_{\rm cf}$благоприятствует (= сводится к минимуму) большому радиальному положению$r\to \infty$, как и следовало ожидать. См. также этот пост Phys.SE.

2. Тогда импульсы

   $$p_{r}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}~=~m\dot{r}$$ и $$p_{\theta}~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}~=~mr^2\dot{\theta}.$$ Угловое положение$\theta$является циклической переменной, поэтому сопряженный импульс$p_{\theta}$(=угловой момент) является константой движения.

3. Теперь сделайте вывод, что гамильтониан равен

   $$H~=~\frac{p_{r}^2}{2m}+\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}+ V(r).$$ Здесь центробежный потенциал$V_{\rm cf}=\frac{p_{\theta}^2}{2mr^2}>0$положительный! Отметим, что центробежный потенциал$V_{\rm cf}$благоприятствует (= сводится к минимуму) большому радиальному положению$r\to \infty$, как и следовало ожидать.