Как статистика Ферми-Дирака влияет на фермионы в принципе запрета Паули?

никакие два фермиона не могут иметь одинаковые квантовые числа, что предположительно равносильно утверждению, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (действительно ли они говорят одно и то же)?

Да, они означают одно и то же. Квантовое состояние однозначно определяется набором квантовых чисел.

Фермионы, о которых я говорю, это кварки, а не электроны.

Не имеет значения. Электроны и кварки являются фермионами. Принцип запрета Паули применим к двум идентичным электронам или к двум идентичным кваркам. Это не будет применяться между электроном и кварком, поскольку они являются отдельными частицами (отличной массой).

А фермионы — это частицы с полуцелым спином, которые подчиняются статистике Ферми-Дирака. Пожалуйста, объясните, что такое статистика Ферми-Дирака,

Итак, здесь есть три уровня:

1. Бозоны против фермионов.

Если у вас есть две частицы ($1$и$2$) с волновыми функциями$\phi$и$\psi$, вы должны описать систему как суперпозицию [случая, когда частица$1$имеет волновую функцию$\phi$И частица$2$имеет волновую функцию$\psi$] И наоборот.

Физически это связано с тем, что маркировка производится нами, экспериментатором, и поэтому не должна оказывать никакого влияния на саму систему и ее эволюцию. Элементарные частицы неразличимы, поэтому мы не можем пометить их один раз и ожидать, что они «сохранят» свою метку.

Таким образом, полная волновая функция$\Psi(1,2)$будет:

$$\Psi(1,2) = \phi(1)\psi(2) \pm \phi(2)\psi(1).$$ Для одинаковых частиц$\psi = \phi$и, следовательно,$\pm$определяет, могут ли две частицы сосуществовать. Случай со знаком плюс означает, что они могут сосуществовать, и они называются бозонами , а знак минус дает вам ноль, и, следовательно, они не могут сосуществовать, и называются фермионами .

Хороший пример — рассмотрение двух электронов в двух состояниях квадратной ямы, и вы можете видеть, что для$-$знак ("антисимметричный", потому что$\Psi$получает общий знак минус при обмене частицами$1\leftrightarrow$2) вероятность нахождения частиц в одном и том же положении$x=y$всегда ровно ноль:

Приведенный выше аргумент несколько упрощен, но его можно строго вывести из топологии обмена частицами .

Вышеуказанные требования обычно резюмируются как коммутационные и антикоммутационные отношения:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \text{bosons} \Leftrightarrow \left [ a,a^\dagger \right ] = 0, \\ \text{fermions} \Leftrightarrow \left \{ a,a^\dagger \right \} = 0. \end{gathered} \end{equation}$$

2. Теорема о спиновой статистике.

Теорема о спиновой статистике, по существу (после множества математических вычислений, доказательств и прочего) влечет за собой эти отношения для создания ($a^\dagger$) и уничтожение ($a$) операторы частиц (правильнее поля ) с угловым моментом$j$:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \text{for bosons: } \quad \left [ a, a^\dagger \right ] \propto 1 - (-1)^{2j} , \\ \text{for fermions: } \quad \left \{ a, a^\dagger\right \} \propto 1 - (-1)^{2j}, \end{gathered} \end{equation}$$

и, чтобы сопоставить их с приведенными выше соотношениями, вы получаете, что фермионы должны удовлетворять$2j \in \mathbb{Z} \implies j \in \mathbb{Z}/2$. Следовательно, фермионы имеют полуцелый спин , потому что$j$, в отсутствие любого другого (орбитального) углового момента, это просто спин.

3. Распределение частиц.

Любая одночастичная (невзаимодействующая) система описывается следующей матрицей тепловой плотности, то есть распределенной по Больцману :

$$\begin{equation} \mathrm{e}^{-\beta (H-\mu N)} = \sum_i\mathrm{e}^{-\beta (E_i-\mu n_i)}\,|n_i\rangle\langle n_i|, \end{equation}$$

потому что это одна частица, числовой оператор$\hat N$дает тебе$n_i|n_i\rangle$и оператор энергии (гамильтониан)$\hat H|n_i\rangle$дает тебе$E_i |n_i\rangle$.

Теперь я хочу определить среднюю занятость состояния, то есть (частицы)/(состояния),$f(E)$:

$$\begin{equation} f = \bar{n} = \frac{1}{\text{total}}\sum_j n_j P(n_j) = \frac{1}{{\sum_j \mathrm{e}^{-n_j(E_j - \mu)/ k_B T}}}\sum_j \langle n_j| \,\mathrm{e}^{-(H - \mu N)/k_B T} n |n_j \rangle = \\ \frac{1}{Z}\sum_j n_j P(n_j), \end{equation}$$ где $$\begin{equation} P(n) = \frac{1}{Z}\, \mathrm{e}^{-n(E-\mu)/k_B T} \quad \text{with} \quad Z = \sum_n \mathrm{e}^{-n(E-\mu)/k_BT} = \sum_n \left ( \mathrm{e}^{-r} \right )^{n}, \end{equation}$$ $P$вероятность найти частицу с энергией$E$(соответствует числу$n$), и$Z$функция раздела.

Мы сказали, что фермионы не могут сосуществовать, поэтому сумма по состояниям должна быть больше$0$или$1$, потому что что угодно$\geq 2$даст вам нулевую чистую волновую функцию (см. первый пункт). Это ограничивает сумму$Z= \sum_{n=0}^1 r^n = 1 + r$и приводит к:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \bar{n} = \sum_{n=0}^1 n\,P(n) = \frac{1}{Z}\,\mathrm{e}^{-(E-\mu)/k_BT} = \frac{r}{1+r} \\ \Rightarrow \bar{n} = f_{\text{FD}} = \frac{1}{\mathrm{e}^{(E-\mu)/k_B T} + 1}. \end{gathered} \end{equation}$$

Так вот откуда берется функция распределения Ферми-Дирака (FD).

Он выводится из принципа запрета Паули и, следовательно, совместим с ним. Если вы построите график (ниже для некоторой ненулевой температуры), вы увидите, что$f$не больше одного для фермионов: вы можете иметь максимум$1$частица на квантовое состояние.

Я думаю, что статистика Ферми-Дирака относится к функции распределения Ферми-Дирака:

$$f(E) = \frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-\mu}{kT} \right)},$$

и эта функция не превышает единицы, а это означает, что в определенном квантовом состоянии никогда не бывает более одной частицы, в отличие от функции распределения Бозе-Эйнштейна.

Квантовое состояние всегда определяется в терминах квантовых чисел, а спин всегда является одним из хорошо определенных квантовых чисел.

Хотите знать, как получается, что полуцелый спин связан с такой функцией распределения?

В общем, полуцелый спин -> принцип запрета Паули -> функция распределения Ферми-Дирака .

Связь полуцелого спина -> принцип исключения Паули описана здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Spin-statistics_theorem

Ссылка принцип исключения Паули -> функция распределения Ферми-Дирака описана здесь: https://nanohub.org/resources/5787/download/2009.02.02-ECE606-L9.pdf

Это очень глубокая и интересная тема! Я надеюсь, что этот ответ поможет прояснить некоторые недоразумения.

Чтобы ответить на ваш первый вопрос, квантовые числа обозначают различные состояния системы, поэтому, если две частицы имеют одинаковые квантовые числа, они находятся в одном и том же состоянии.

Статистика Ферми-Дирака относится к фазе, приобретаемой волновой функцией при обмене двумя частицами. В частности, если поменять местами два фермиона, волновая функция должна приобрести общий знак минус. Предположим, у нас есть система, описываемая одним квантовым числом,$n$, и содержит два фермиона с позиционными векторами$\mathbf{x}_1$и$\mathbf{x}_2$соответственно. Пусть эти фермионы находятся в состояниях$n_1$и$n_2$. Тогда волновая функция объединенной системы должна быть:

$$\Psi (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \psi_{n_1}(\mathbf{x}_1)\psi_{n_2}(\mathbf{x}_2) - \psi_{n_1}(\mathbf{x}_2)\psi_{n_2}(\mathbf{x}_1)$$ где государства$\psi_{n_1}(\mathbf{x})$и$\psi_{n_2}(\mathbf{x})$являются одночастичными состояниями. Вы можете видеть из состояния двух частиц, что$\Psi (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = -\Psi (\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1)$, который кодирует тот факт, что замена двух фермионов приводит к общему изменению знака. Напротив, двухчастичные бозонные состояния подчиняются$\Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \Psi(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1)$.

Принцип запрета Паули гласит, что никакие два неразличимых фермиона не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Мы можем видеть, что это верно, рассмотрев случай, когда$n_1=n_2$выше. В этой ситуации,$\Psi = 0$одинаково. Это означает, что вероятность того, что фермионы находятся в одном и том же состоянии, равна нулю. Обратите внимание, что это не относится к бозонам.

Теорема о спиновой статистике говорит нам, что фаза, приобретаемая волновой функцией при обмене двумя частицами, совпадает с фазой, приобретаемой при полном$2\pi$вращение. Таким образом, фермионы приобретают знак минус, когда вы поворачиваете один из них на$2\pi$. Это говорит нам о том, что у них должен быть полуцелый спин, что совсем не тривиально! Я бы посоветовал прочитать больше о вращении, особенно если вы заинтересованы в этой связи.

Важно: приведенные выше факты верны для любого типа (неразличимых) фермионов. В этом смысле электроны и кварки подчиняются одним и тем же правилам. Однако статистика Ферми-Дирака (относящаяся к знаку минус, полученному волновой функцией при обмене частицами) не совпадает с распределением Ферми-Дирака. Распределению FD подчиняются невзаимодействующие фермионы, находящиеся в тепловом равновесии с резервуаром, с которым они могут обмениваться частицами. В частности, кварки являются очень сильно взаимодействующими частицами и поэтому не подчиняются распределению FD. Биржевая статистика (и принцип исключения Паули) — более общий и глубокий факт.