Вопрос о кварках и квантовой хромодинамике

Позволять$|0\rangle$— состояние вакуума, и пусть$q_C(f)$обозначают оператор, который при применении к любому состоянию добавляет еще один кварк с цветом$C$и «пространственная волновая функция»$f$. Утверждение, что кварки являются фермионами, означает, что эти операторы антикоммутируют друг с другом.

Теперь рассмотрим трехкварковое состояние

$$|f,g,h\rangle := \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(f)q_{\pi(G)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle, \tag{1}$$ где сумма по всем перестановкам$\pi$индексов цвета с отрицательным знаком для нечетных перестановок. Эта антисимметричная сумма по перестановкам делает состояние цветным синглетом, если предположить, что цветовая группа$SU(3)$. Индексы спина опущены, потому что предполагается, что все они равны, поэтому общий спин равен$3/2$. Предполагается, что все три кварка имеют один и тот же аромат.

Тот факт, что операторы рождения кварков$q_C(f)$антикоммутируют друг с другом (поскольку кварки являются фермионами) подразумевает, что состояние$|f,g,h\rangle$симметричен относительно перестановок$f,g,h$, как в

$$|g,f,h\rangle = |f,g,h\rangle. \tag{2}$$ В деталях: $$\begin{align} |g,f,h\rangle &:= \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(g)q_{\pi(G)}(f)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &= -\sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(G)}(f)q_{\pi(R)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &= \sum_{\pi}(-1)^\pi q_{\pi(R)}(f)q_{\pi(G)}(g)q_{\pi(B)}(h)|0\rangle \\ &=: |f,g,h\rangle. \tag{3} \end{align}$$ Повествование:

• Общий отрицательный знак во второй строке происходит из-за изменения порядка операторов.$q_{\pi(R)}(g)$и$q_{\pi(G)}(f)$. Это изменение знака выражает тот факт, что кварки являются фермионами.

• Общий отрицательный знак исчезает в третьей строке, потому что мы переставили индексы цветов.$G$и$R$. Эта смена знака выражает тот факт, что состояние является цветовым синглетом (инвариантным относительно$SU(3)$трансформация).

Вывод состоит в том, что государство$|f,g,h\rangle$является антисимметричным по цвету, но пространственно симметричным, как утверждается в отрывке, показанном в OP.

Квалификация:

• Для краткости я использовал слова «пространственная волновая функция». Это двусмысленно, но что именно я имею в виду, здесь не важно. Достаточно общей идеи.

• Используемая здесь картина «валентного кварка» достаточно хороша для ответа на вопрос, но имейте в виду, что$|f,g,h\rangle$на самом деле не является состоянием с одним барионом. Реальные барионы также включают в себя глюоны, и на самом деле они включают в себя неопределенное количество кварков/антикварков.