Как узнать, какое линейное соответствие лучше?

Проблема в том, что ваши данные плохо моделируются прямой пропорциональностью между$m$и$T^2/4 \pi^2$. Обе посадки должны проходить через начало координат; но если вы наивно построите линейную подгонку по методу наименьших квадратов в каждом случае, вы обнаружите существенное смещение для ваших данных:

Вы можете получить лучшее согласие между двумя методами, заставив кривую соответствия проходить через начало координат (детали того, как это сделать, различаются в зависимости от используемого вами программного обеспечения). Согласие все еще невелико, но оно лучше.

В более широком смысле, не обязательно, что наклон линии, которая минимизирует расстояние по методу наименьших квадратов для функции$y = m x$будет таким же, как наклон линии, которая минимизирует расстояние по методу наименьших квадратов для функции$(1/x) = m (1/y)$. Это связано с тем, что «наивная» подгонка методом наименьших квадратов предполагает равномерно распределенные ошибки во всех ваших точках данных и незначительные ошибки в независимой переменной; но когда вы меняете местами два графика, вы меняете роли зависимой и независимой переменных и меняете размеры ошибок на них. В общем, наилучшей практикой на вводном занятии было бы взять в качестве независимой переменной ту, которая измеряется более точно (в данном случае, вероятно, массу), использовать распространение ошибки для оценки планок погрешностей для каждого из ваших измерений зависимую переменную и выполнить подгонку данных с соответствующим взвешиванием.

Это не линеаризация, это просто выражение$k$двумя разными способами. Если вы выберете два случайных значения для$T$и$m$вы получите два разных результата. Подвох в том, что$T$и$m$связаны через$k$, т.е.$k = f(T, m)$или$k = g(\omega, m)$и в обоих случаях вы должны получить тот же результат, если вы удовлетворяете$\omega = \frac{2\pi}{T}$и вы используете то же самое$m$.

$$f(T,m) = \frac{4\pi^2}{T^2} m , \qquad g(\omega,m) = \omega^2 m$$

В общем, если$k_0 = f(T_0,m_0) = g(\omega_0,m_0)$где$\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$затем

$$f(T_0,m_0+\Delta) = g(\omega_0,m_0+\Delta)$$

$$f(T_0+\Delta,m_0) \neq g(\omega_0+\Delta,m_0)$$

поскольку функции$f$и$g$линейны в$m$для фиксированного$T_0$и$\omega_0$, и нелинейный по$T$и$\omega$для фиксированного$m_0$.

---

Что мне кажется, так это то, что вы запутались, как появляются сюжеты$(T,m,f)$и$(\omega,m,g)$не похожи друг на друга. Чтобы понять это, рассмотрим более простой случай:

$$h(x) = x, \qquad z(y) = \frac{1}{y}, \qquad x = \frac{1}{y}$$

Очевидно, что$(x,h)$и$(y,z)$графики не совпадают, хотя две функции одинаковы в$x$. Однако,$(x,h)$и$(1/y,z)$сюжеты одинаковые, и это именно то, что происходит в вашем случае.