Почему мы не используем абсолютную ошибку при вычислении произведения двух неопределенных величин?

В основном это происходит из исчисления (или, в более общем смысле, просто из математики изменений).

Если у вас есть количество, которое является продуктом$z=x\cdot y$, то изменение этого значения в зависимости от изменения$x$и$y$является$^*$ $\Delta z=x\Delta y+y\Delta x$. Тогда понятно, что

Причина, по которой вы не используете абсолютную неопределенность или не умножаете относительную неопределенность, та же самая, по которой$(a+b)^2\neq a^2+b^2$. Это просто не тот результат, который вы получаете, когда занимаетесь математикой.

$^*$Мы пренебрегаем термином$\Delta x\cdot\Delta y$в$\Delta z$, так как в идеале$\Delta x<x$и$\Delta y<y$до такой степени, что$\Delta x\cdot\Delta y\ll xy$такой, что$\Delta x\Delta y/xy$намного меньше, чем оба$\Delta x/x$и$\Delta y/y$.

Вы получите лучшую интуицию, если просто возьмете два простых числа с возможной ошибкой и перемножите их. Выберите 100±1 и 200±4 относительные ошибки 1/100 или 1% и 4/200=2%.
Теперь умножьте, и вы получите для положительной ошибки 101 * 204 = 20604 = 20000 + 604 или ошибку около 3%. Умножение абсолютной ошибки даст вам 1*4 вместо 604, умножение относительных ошибок даст вам 2/10000 или 0,02%.
Попробуйте это с любыми двумя другими числами.