Что такое «поля со значениями Грассмана»?

Пескин и Шредер определяют поле Грассмана ψ ( Икс ) как функция, значения которой являются антикоммутирующими числами, которая может быть записана как: [стр.301 экв. 9.71]

(9,71) ψ ( Икс ) "=" ∑ ψ я ф я ( Икс ) ,

где ψ я называются числами Грассмана, а ф я ( Икс ) являются обычными функциями. Однако это кажется несовместимым с определением чисел Грассмана, данным, например, в Википедии , где число Грассмана является элементом 2 н -мерная алгебра, порожденная набором н генераторы. Например, антикоммутирующими являются генераторы , а не (обязательно) числа. В качестве простого примера, если у нас есть алгебра Грассмана с двумя антикоммутирующими генераторами θ 1 , θ 2 тогда общее число Грассмана равно а + б θ 1 + с θ 2 + д θ 1 θ 2 где а , б , с , д являются комплексными числами.

Итак, правильно ли говорить, что когда P&S говорит «числа Грассмана», они на самом деле имеют в виду генераторы алгебры Грассмана и что значение, которое поле может иметь в любой точке, является линейной комбинацией этих генераторов?

Мой главный вопрос заключается в том, как понимать концепцию конкретной конфигурации такого поля. На первый взгляд кажется, что разным конфигурациям соответствуют разные линейные комбинации образующих. Но тогда мы должны интегрировать по всем конфигурациям в интеграле по путям, так что не означает ли это, что мы должны интегрировать по ф я ( Икс ) а не тот ψ я с?

Ответы (1)

  1. С одной стороны, Википедия говорит о фундаментальной основе ( θ я ) я "=" 1 , … , н генераторов нечетности Грассмана для сверхчисел . Обычно в физике н "=" ∞ . [Эти базовые элементы θ я не нужны для практических расчетов, и их не следует путать с нечетными параметрами Грассмана. θ суперполя _ Φ ( Икс , θ ) .]

  2. С другой стороны, грассмановозначное поле Икс ↦ η ( Икс ) отображает точку пространства-времени Икс в нечетное по Грассману сверхчисло. В частности, поле Дирака со значениями Грассмана Икс ↦ ψ ( Икс ) отображает точку пространства-времени Икс в набор из четырех нечетных по Грассману сверхчисел, образующих спинор Дирака.

  3. P&S экв. (9.71) — в лучшем случае очень обманчивая формула. Некорректно просматривать элементы ψ я в качестве базовых элементов θ я . Скорее ψ я должен быть мономом нечетного порядка базисных элементов, а сумма в правой части ур. (9.71) должно быть над всеми такими мономами нечетного порядка.

  4. Об интеграле Березина

    (1) ∫ Ф 0 | 1 д η   ф ( η )   "="   д ф ( η ) д η ,
    переменная интегрирования η не является базовым элементом θ я , а скорее нечетное сверхчисло Грассмана η . В частности, мономы нечетного порядка базисных элементов θ я внутри переменной интегрирования η не имеют значения при назначении значения интеграла (1). [В интеграле (1) основное поле Ф либо р или С .]

  5. См. также этот , этот и этот связанные сообщения Phys.SE.

Спасибо, однако относительно вашего пункта 3. - если ψ я любые мономы нечетного порядка, как получить интеграл Гаусса от действия, включающего квадратичные члены, такие как ψ ¯ ψ ? если ψ я генераторы θ я тогда это немедленно, но я не совсем понимаю, как это происходит в противном случае (происходит ли какая-то массовая отмена?) . - а по второй части вопроса, правильно ли говорить, что ф я определить конкретную конфигурацию поля?
Я обновил ответ.
Что такое «поля со значениями Грассмана»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v