Как восстанавливается виртуальное изображение из голограммы?

Из-за дифракции . Когда фотопластинка подвергается экспонированию, она чернеет и изменяет свой показатель преломления в пространственно изменяющемся порядке. При повторном освещении эталонным лучом его можно рассматривать как коэффициент пропускания по амплитуде. В 2D вы бы определили это как сложную функцию:

$$t(x,y)= T(x,y)e^{i\theta(x,y)}$$

Допустим, ваш эталонный луч можно аппроксимировать плоской гармонической волной, он будет иметь вид:

$$E(x,y)=E_0 e^{ik*r}$$

Когда вы пропускаете эталонный луч через голограмму, вы модулируете его коэффициентом пропускания. Итак, поле сразу после голограммы:

$$E(x,y)=T(x,y)E_i(x,y)$$

Чтобы формально получить волновое поле в любой точке дальше этой, нужно решить интеграл Фрезенеля-Кирхгофа .

Дифракция приводит к расходящемуся и сходящемуся фронтам волн по обеим сторонам пластины. Сходящийся создает мнимое изображение объекта, который кажется стоящим там, где был исходный объект. Следующий рисунок пытается показать этот процесс:

Я хотел бы добавить еще один ответ на Cape Code .

Голография работает, потому что при разумных физических предположениях решения волнового уравнения Гельмгольца однозначно определяются значениями решений на одной плоскости. Таким образом, если мы можем осветить фазово-амплитудную маску, кодирующую конкретное решение волнового уравнения на плоскости, плоской волной от лазера, свет, проходящий через маску, будет иметь ту же фазу и амплитуду, что и исходное решение волнового уравнения. Поэтому при распространении от маски световое поле будет вести себя так же, как исходное решение.

Чтобы увидеть это в действии, предположим, что световое поле почти монохроматично и номинально распространяется в$+z$направление. Напомним, что плоские волновые решения уравнения Гельмгольца$(\nabla^2+k^2)\psi=0$имеют форму$\psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \exp(i\,\vec{k}\cdot\vec{r})$, где$\vec{k}=(k_x,\,k_y,\,k_z)$удовлетворяет ли волновой вектор$c^2\,\vec{k}\cdot\vec{k}=\omega^2$. Если поле состоит только из плоских волн в положительной$z$направление ( т.е. $k_z>0$), то мы можем представить дифракцию любого скалярного поля на любом поперечном (вида$z=c$) самолет по:

$$\begin{array}{lcl}\psi(x,y,z) &=& \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \left[\exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)\,\Psi(k_x,k_y)\right]{\rm d} k_x {\rm d} k_y\\ \Psi(k_x,k_y)&=&\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\left(-i \left(k_x u + k_y v\right)\right)\,\psi(x,y,0)\,{\rm d} u\, {\rm d} v\end{array}$$

Чтобы понять это, давайте аккуратно назовем алгоритмические шаги, закодированные в этих двух уравнениях:

1. Воспользуемся преобразованием Фурье скалярного поля по поперечной плоскости$z=0$выразить его как суперпозицию скалярных плоских волн$\psi_{k_x,k_y}(x,y,0) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right)$с суперпозицией весов$\Psi(k_x,k_y)$;
2. Отметим, что плоские волны, распространяющиеся в$+z$направления, удовлетворяющие уравнению Гельмгольца, меняются как$\psi_{k_x,k_y}(x,y,z) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)$;
3. Распространяйте каждую такую ​​плоскую волну из$z=0$самолет к генералу$z$плоскость с использованием решения плоской волны, отмеченного на шаге 2;
4. Обратное преобразование Фурье распространяющихся волн для повторной сборки поля в общем$z$самолет.

Если вы можете понять эти шаги, вы должны увидеть, как решение уравнения Гельмгольца, то есть полное трехмерное скалярное световое поле, восстанавливается из его значений на плоскости.$z=0$. Последнее, конечно же, является тем, что кодирует голограмма маски фазы и интенсивности.

Иногда используется маска только для амплитуды. Так что вместо маски вывод поля вида$A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))$он выводит поле формы$A(x,\,y)\,\cos(\Phi(x,\,y))$. Но это последнее поле можно записать:

$$A(x,\,y)\,\cos(\Phi(x,\,y)) = \frac{1}{2}(A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))+A(x,\,y)\,\exp(-i\,\Phi(x,\,y)))$$

какое поле$A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))$которое мы хотим наложить на сопряженное поле $A(x,\,y)\,\exp(-i\,\Phi(x,\,y))$. В этом виде голографии освещение размещается так, что желаемое поле и его фазовое сопряжение распространяются под большим углом друг к другу, так что они быстро расходятся, позволяя рассматривать каждое поле отдельно.