Отличие параксиального приближения от приближения Френеля

В настоящее время я читаю литературу о дифракции (особенно о дифракции Рэлея / Зоммерфельда или эквивалентном методе Фурье) и постоянно натыкаюсь на термины «параксиальное приближение» и «приближение Френеля». Какова точная разница между этими двумя терминами или каково точное определение этих терминов? Какие математические выражения аппроксимируются и в каких случаях?

В настоящее время я вычисляю преобразование Фурье передаточной функции свободного пространства

ЧАС ( Икс , у , г ) "=" Ф ( Икс , у ) ( е я г к 2 − к Икс 2 − к у 2 )

Используя предположение, что поле (претерпевающее дифракцию) содержит только такие спектральные компоненты с к 2 ≫ к Икс 2 (это было бы ограничением, которое вы применяете ко всему дифрагированному полю), вы можете приблизить экспоненциальную функцию к

е я г к 2 − к Икс 2 − к у 2 ≈ е я к г − я 2 к г ( к Икс 2 + к у 2 )

Если вы затем рассчитаете импульсную характеристику (преобразование Фурье), вы получите параболические волны, которые распространяются от каждой точки поверхности, содержащей дифракционную структуру. Какое приближение я использовал здесь? Приближение Френеля или параксиальное приближение?

Ответы (2)

Короче говоря, из уравнения Гельмгольца можно вывести формулу дифракции Рэлея-Зоммерфельда. Далее в параксиальном приближении вы выводите формулу дифракции Френеля.

По математике для волны ты 0 ( р ) расстояние распространения г как ты г ( р ) , по уравнению Рэлея-Зоммерфельда:

ты г ( р ) "=" − 1 2 π ты 0 ( р ) ⋆ 1 2 π г е Дж к р р 3 ( 1 − Дж к р ) ,

где р "=" ( Икс , у ) , р "=" Икс 2 + у 2 + г 2 , к волновое число, ⋆ обозначает свертку.

Чтобы получить формулу Френеля, вам нужно:

  • г ≫ ‖ р ‖ . И поэтому: р "=" ‖ р ‖ 2 + г 2 ≈ г + ‖ р ‖ 2 2 г .

  • г ≫ λ . Это ведет к: к р ≫ 1 .

С этими двумя приближениями вы получаете формулу Френеля:

ты г ( р ) "=" ты 0 ( р ) ⋆ е Дж к г Дж λ г е Дж к ‖ р ‖ 2 2 г .

Параксиальное приближение и приближение Френеля по сути одно и то же. Просто параксиальное приближение имеет тенденцию использоваться в связи с дифференциальными уравнениями, в то время как приближение Френеля используется в контексте интегрального выражения.

Исходя из уравнения Гельмгольца, можно применить параксиальное приближение, чтобы получить параксиальное волновое уравнение. (По запросу могу вставить соответствующие выражения.) Решения параксиального волнового уравнения имеют форму гауссовых лучей (Лагерра-Гаусса, Эрмита-Гаусса и т. д.). Гауссовы лучи не являются решениями уравнения Гельмгольца.

С другой стороны, можно использовать подход интегрального уравнения, как это сделали вы, а затем применить приближение Френеля для изменения аргумента в экспоненте ядра. Результатом является интеграл распространения Френеля.

Проверить, что эти два подхода дают одинаковый результат. Начните с двухмерной гауссовой формы гауссова луча в его перетяжке. Затем примените распространение Френеля на произвольное расстояние г . Вы найдете выражение, совпадающее с решением уравнения параксиальной волны.

Отличие параксиального приближения от приближения Френеля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v