Как вычислить пульсации тока, наблюдаемые конденсатором фильтра выпрямителя?

Предположим, что система уже предварительно заряжена и работает в установившемся режиме. Мост имеет два дискретных состояния: либо конденсатор заряжается (пара диодов смещена в прямом направлении), либо конденсатор разряжается. Назовите период P, время заряда DP и время разряда (1-D)P.

Во время цикла заряда мы можем аппроксимировать ток, поступающий в конденсатор, в виде треугольника, начиная с 0 и поднимаясь до пика.

$$1: I_{charge}(t) = \frac{t I_{peak}}{DP}\\ $$ Предположим, что выходная емкость достаточно велика, чтобы пульсации ее напряжения были небольшими, а это означает, что ток через конденсатор во время разряда является фиксированным. $$2: I_{discharge}(t) = I_{load}\\ $$

Вычисление RMS:

$$3: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^{DP}I_{charge}^2(t) dt + \int_{DP}^{P}I_{discharge}^2(t) dt}{P}}$$

Вычисление интеграла:

$$4: I_{RMS}=\sqrt{\frac{I_{peak}^2D}{3} + I_{load}^2(1-D)}$$

Поскольку мы находимся в устойчивом состоянии, общий заряд конденсатора во время цикла зарядки должен быть равен общему заряду, покидающему конденсатор во время его разрядки:

$$5: Q_{charge}=Q_{discharge}$$

Суммарный заряд, поступающий в конденсатор, равен площади треугольника тока:

$$6: Q_{charge}=\frac{I_{peak}DP}{2}.$$

Заряд, покидающий конденсатор во время цикла разрядки, является произведением фиксированного тока и времени:

$$7: Q_{discharge} = I_{load}(1-D)P.$$

Что дает нам:

$$8: \frac{I_{peak}DP}{2} = I_{load}(1-D)P$$

Решите для пикового тока:

$$9: I_{peak}=\frac{2I_{load}(1-D)}{D}$$

Подставьте в уравнение 4:

$$10: I_{RMS}=I_{load}\frac{\sqrt{D^3-5D^2+4D}}{D\sqrt{3}}$$

Из этого мы видим, что ток пульсаций, воспринимаемый выходным конденсатором, является функцией тока нагрузки и доли периода переменного тока, затрачиваемого на зарядку конденсатора. Когда D приближается к 0, ток пульсаций приближается к бесконечности. Когда D приближается к 1, ток пульсаций приближается к 0. Более длительное время зарядки уменьшает пульсации.

Рассмотрим токи дросселя и напряжения конденсатора во время цикла заряда:

$$11: V_{choke} = L\frac{di}{dt}\\ 12: I_{cap} = C\frac{dv}{dt}$$

Во время цикла заряда мы аппроксимировали ток через дроссель в конденсатор треугольником с высотой I_peak. Средний ток в конденсаторе во время цикла заряда составляет половину этого пика. Продолжительность цикла заряда DP. Напряжение на дросселе начинается с 0, поднимается до пика, приблизительно равного напряжению пульсаций dv, а затем снова падает до нуля. Мы можем аппроксимировать среднее напряжение на дросселе как половину напряжения пульсаций.

$$di = I_{peak}\\ dt = DP\\ I_{cap} = \frac{I_{peak}}{2}\\ V_{choke} = \frac{dv}{2}$$ Подставляем в 11 и 12: $$13: \frac{dv}{2} = L\frac{I_{peak}}{DP}\\ 14: \frac{I_{peak}}{2} = C\frac{dv}{DP}$$ Решите оба уравнения для dv, затем решите для D: $$15: \frac{2LI_{peak}}{DP} = \frac{DPI_{peak}}{2C}\\ 16: D = \frac{2\sqrt{CL}}{P}$$ Подставьте в уравнение 10, чтобы найти среднеквадратичное значение тока конденсатора.

Таким образом, продолжительность цикла заряда в два раза превышает постоянную времени LC-резонансного контура. Увеличение размера дросселя удлиняет цикл заряда, уменьшая среднеквадратичное значение тока (и улучшая гармоники в сети). Увеличение емкости конденсатора увеличивает время работы дросселя в прямом направлении. А увеличение частоты (уменьшение периода) означает, что каждый зарядный импульс может быть меньше и обеспечивать одинаковый ток. Таким образом, трехфазные выпрямители имеют меньший ток пульсаций на своих выходных конденсаторах, чем однофазные. Эта математика показывает, что при фиксированном токе пульсаций конденсатора трехфазный выпрямитель, работающий с однофазным входом, может потреблять только ~ 30% трехфазного тока нагрузки.