LC-цепь с последовательным диодом (нахождение линейного среднего)

У меня есть следующая серия LC-цепей :

Найдите (линейное) среднее значение тока через диод . Идеал — это идеальная составляющая. Начальные условия в схеме равны нулю.

---

МОЯ РАБОТА

Сначала я замкнул диод (так что делайте вид, что идеального диода в схеме нет). Используя закон Фарадея, я могу написать:

$$\text{V}_{\space\text{in}}\left(t\right)+\text{V}_{\space\text{C}}\left(t\right)=-\text{L}\cdot\text{I}_{\space\text{in}}'\left(t\right)\tag1$$

Теперь я также знаю, что$\text{V}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\sin\left(2\pi\cdot t\right)$,$\text{I}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\text{V}_{\space\text{C}}'\left(t\right)\cdot\text{C}$и$\text{I}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$. Где$\text{L}$- значение индуктора (в Генри) и$\text{C}$емкость конденсатора (в фарадах).

Итак, я также могу написать:

$$\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\sin\left(2\pi\cdot t\right)\right)+\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}=-\text{L}\cdot\text{I}_{\space\text{in}}''\left(t\right)\\ \\ \text{I}_{\space\text{in}}\left(0\right)=0\\ \\ \text{I}_{\space\text{in}}'\left(t\right)=0 \end{cases}\tag2$$

Который дает:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{2\pi\cdot\text{C}\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{\text{C}\cdot\text{L}}}\right)\right)}{4\pi^2\cdot\text{C}\cdot\text{L}-1}\tag3$$

Используя заданные значения:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{6\pi\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)\right)}{12\pi^2-1}\tag4$$

Функция построения графика$\left(4\right)$, дает:

(Я использовал Mathematica для создания сюжета)

Теперь я снова вставляю диод в цепь, и он отсекает каждую отрицательную часть тока. Таким образом, каждая отрицательная часть тока станет равной нулю, и в цепи протекают только положительные части тока.

Чтобы найти (линейное) среднее значение, мне нужно найти:

$$\overline{\text{I}}_{\space\text{D}}=\overline{\text{I}}_{\space\text{in}}=\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\int_0^\text{n}\text{I}_{\space\text{D}}\left(t\right)\space\text{d}t\tag5$$

Где$\text{I}_{\space\text{D}}\left(t\right)$входной ток ($\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$) со всеми отрицательными частями заблокированы.

Теперь я попытался найти значения для$t$когда$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$равен нулю:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{6\pi\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)\right)}{12\pi^2-1}=0\space\Longleftrightarrow\space t=\frac{6\pi\cdot\text{k}}{\sqrt{3}\pm6\pi}\tag6$$

Где$\text{k}\in\mathbb{Z}$

Отныне не знаю, как дальше быть.