Как вывести существование фотонов, применив квантовую механику к уравнениям Максвелла

Вот удар по короткому и интуитивно понятному ответу (например, математике). Предупреждение, я игнорирую в основном все факторы, которые не равны 1, поэтому извините, если я что-то не так.$\hbar = \pi = 1/2 = 2 = 4 = 1...$и т. д.

Решения уравнений Максвелла можно разложить на монохроматические электромагнитные волны*. Электромагнитная волна имеет (комплексную) амплитуду$a\propto E$который колеблется во времени. Можно показать, что энергия (или поток энергии в зависимости от конкретной физической ситуации) в электромагнитной волне пропорциональна квадрату амплитуды волны:

$$H = \omega a^*a$$

Вместо того, чтобы выражать амплитуду как одно комплексное число, мы можем выразить ее через действительную и мнимую части этого числа:

$$a = \text{Re}(a) + i \text{Im}(a) = x + i p$$

$$H/\omega = x^2 + p^2$$

БУДЬ БЫ это масса на пружинном гармоническом осцилляторе, мы бы определили$x$и$p$как канонически сопряженные переменные положения и импульса для классического гармонического осциллятора. Известно, что у них есть скобка Poission, например

$$\{x, p\} = 1$$

Каноническое квантование работает путем возведения канонически сопряженных переменных в квантовые операторы (их можно рассматривать как операторы в гильбертовом пространстве) с коммутационными соотношениями:

$$[\hat{x}, \hat{p}] = i$$

Отсюда следует, что

$$[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = 1$$

из чего можно вывести это

$$H = \omega\hat{a}^{\dagger} \hat{a} = \omega\hat{n}$$

Где собственные значения$\hat{n}$неотрицательные целые числа. Именно это имеется в виду под квантованием энергии гармонического осциллятора. Обратите внимание, что это означает, что комплексная амплитуда гармонического осциллятора также квантуется.

Вернемся к электромагнитному полю. Оказывается**, что 1) электромагнетизм можно представить в лагранжевой форме, что дает нам контекст, в котором мы можем обсуждать канонически сопряженные переменные и 2) действительную и мнимую части амплитуды электромагнитного поля,$a$, заданный$x$и$p$, на самом деле может быть связано с парой сопряженных переменных электромагнетизма. Эти сопряженные переменные связаны с электрическим полем и производной электрического поля по времени. Есть также связь через уравнения Максвелла с магнитным полем.

Это означает, что мы вправе сделать теорию электромагнетизма квантовой, полагая$a\rightarrow \hat{a}$с

$$[\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]=1$$

Это приводит нас к выводу, что энергия в одной моде электромагнитного излучения квантуется в единицах$\omega$, а также квантуется амплитуда электромагнитной волны.

Вот что такое фотон. Фотон — это квантованное возбуждение в электромагнитной волне, точно так же мы можем иметь квантованное возбуждение в квантовом гармоническом осцилляторе. Кроме того, здесь я укажу, что возбуждения возможны и в классическом электромагнитном поле. Если вы когда-нибудь обнаружите, что фотоны вам кажутся забавными, постарайтесь уделять больше времени размышлениям о сходствах, а не о различиях между классическими возбуждениями электромагнитного поля (или любого осциллятора) и квантовыми возбуждениями того же самого.

Как описано в комментариях, фотон возникает из электромагнетизма посредством применения канонического квантования к канонически сопряженным переменным, которые составляют одномодовое монохроматическое решение уравнений Максвелла.

* Их часто принимают за плоские волны, но, в зависимости от граничных условий для ЭМ задачи, мы можем разложить общее решение уравнений Максвелла на множество различных семейств пространственных мод. Любого такого разложения достаточно для описания фотона. Форма фотона задается пространственным паттерном пространственной моды, которую мы квантуем . То есть фотоны могут иметь разную форму, и фотон в одной моде может быть разложен как суперпозиция фотонов в других модах. Там я ответил примерно на 100 вопросов по обмену стеками физики о форме фотона в этой сноске!

** Моими любимыми ссылками на это являются Quantum and Atom Optics Дэниела Стека и UC Berkeley Physics 221A/B Lecture Notes Роберта Литтлджона.

Исторически квантовая механика была впервые постулирована Планком как способ решения ультрафиолетовой катастрофы, возникшей при попытке применить термодинамику к электромагнетизму. Итак, дело не столько в том, что у нас есть квантовая механика, которую мы применили к ЭМ, у нас были ЭМ и статистическая механика/термодинамика, и несоответствие между ними дало первый намек на КМ.

Тем не менее, я обрисую правдоподобный путь от уравнений Максвелла к возможности вывести в квантовой теории поля, что фотоны существуют как частицы.

Во-первых, выведите гамильтониан из электромагнитного тензора энергии-импульса ,

$$H = \int \mathrm{d}^3x \left[\frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \mathbf{B}^2\right].$$ Во-вторых, запишите гамильтониан в терминах векторного потенциала и электрического потенциала , используя$\mathbf{E} = -\nabla \Phi - \partial_t \mathbf{A}$и$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$получить $$H = \int \mathrm{d}^3x \left[\frac{\epsilon_0}{2}(\nabla \Phi + \partial_t \mathbf{A})^2 + \frac{1}{2\mu_0} (\nabla \times \mathbf{A})^2\right].$$ В-третьих, разделить члены гамильтониана на вклады от соленоидальной и расходящейся частей электрического поля, используя разложение Гельмгольца. $$H = \int \mathrm{d}^3x \left[\frac{\epsilon_0}{2}(\nabla \Phi + \partial_t \mathbf{A}_D)^2 + \frac{\epsilon_0}{2}(\partial_t \mathbf{A}_S)^2 + \frac{1}{2\mu_0} (\nabla \times \mathbf{A}_S)^2\right].$$ Определите импульс, канонически сопряженный с$\mathbf{A}_S$является$\mathbf{\Pi}_S = \partial_t\mathbf{A}_S$, и$\mathbf{E}_D = -\nabla \Phi - \partial_t \mathbf{A}_D$получить $$H = \int \mathrm{d}^3x \left[\frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_D^2 + \frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{\Pi}_S^2 + \frac{1}{2\mu_0} (\nabla \times \mathbf{A}_S)^2\right].$$ Наконец, преобразование Фурье в моду-пространство (т.е. преобразование Фурье пространственных измерений, а не времени) $$\begin{align} H &= \int \mathrm{d}^3k \left[\frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_D^* \cdot \mathbf{E}_D + \frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{\Pi}_S^* \cdot \mathbf{\Pi}_S + \frac{1}{2\mu_0} |\mathbf{k} \times \mathbf{A}_S|^2\right] \\ &=\int \mathrm{d}^3k \left[\frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_D^*\cdot \mathbf{E}_D + \frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{\Pi}_S^*\cdot \mathbf{\Pi}_S + \frac{k^2}{2\mu_0} \mathbf{A}_S^*\cdot \mathbf{A}_S\right]. \end{align}$$ При осмотре вы можете видеть, что электромагнитное поле состоит из двух компонентов, которые представляют собой непрерывные гармонические осцилляторы (соленоидальные члены), которые подчиняются$\omega = k / \sqrt{\mu_0\epsilon_0}$, и один компонент, который не является (расходящийся термин). Члены типа гармонического осциллятора - это то, что порождает состояния с определенным числом частиц через формализм лестничного оператора и, следовательно, фотоны.

Расходящийся (не поддерживающий фотоны) термин заслуживает некоторого комментария. В калибровке Вейля это кинетический член (поскольку это квадрат производной координаты по времени), в кулоновской калибровке это потенциальный член (квадрат пространственной производной координаты), и он смешанный в других калибровках. Тем не менее, параметризация его с точки зрения электрического поля удовлетворяет калибровочной инвариантности и не является проблемой квантовой механики, поскольку у него нет канонически сопряженного аналога в гамильтониане. Это означает состояния определенных$\mathbf{E}_D$также являются собственными состояниями Гамильтона.

Конечно, это усложняется, когда вы начинаете включать источники,$\rho$и$\mathbf{J}$, но только немного. Для получения более подробной информации я бы рекомендовал главу 8 книги Вайнберга «Квантовая теория поля» (том 1) .