Связь между радиоволнами и фотонами, генерируемыми классическим током

В КЭД электромагнитное (ЭМ) поле и заряженная материя являются квантовыми сущностями. В этом ответе вместо этого используется полуклассическая модель с квантовым полем , связанным с заданным классическим током . Это точно решаемая модель, вдохновленная КЭД. В качестве дальнейшего упрощения квантовое поле будет скалярным полем , а не электромагнитным полем. По аналогии кванты этого скалярного поля будем называть «фотонами».

В контексте свободного (невзаимодействующего) квантового электромагнитного поля слово «фотон» обычно используется для обозначения кванта энергии, и именно так я использую это слово здесь. Ток будет активен только в течение конечного промежутка времени, и слово «фотон» я буду применять только в те моменты времени, когда ток не активен , так что значение «кванта энергии» однозначно.

Чтобы ограничить длину этого поста, предполагается знакомство с вводной QFT. Обозначения будут аналогичны тем, которые используются в главе 2 книги Пескина и Шредера «Введение в квантовую теорию поля» .

---

Модель и ее точное решение

Будет использована картина Гейзенберга, поэтому вектор состояния не зависит от времени, но его физическое значение по-прежнему меняется во времени, поскольку меняются наблюдаемые . Уравнение движения в картине Гейзенберга имеет вид

$$\begin{equation} \partial_\mu\partial^\mu\phi(t,\mathbf{x}) = J(t,\mathbf{x}) \tag{1} \end{equation}$$ где$\phi$– квантовое поле и где$J$— заданная функция, которую будем называть «текущей» по аналогии со случаем ЭМ. Соотношение равновременной коммутации для квантового скалярного поля имеет вид $$\begin{equation} \big[\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})\big]=i\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}). \tag{2} \end{equation}$$ Квантовое поле$\phi(t,\mathbf{x})$— локальная наблюдаемая, соответствующая измерениям амплитуды поля.

Уравнения (1)-(2) могут быть решены точно. Решение

$$\begin{equation} \phi(t,\mathbf{x}) = \phi_0(t,\mathbf{x})+\phi_J(t,\mathbf{x}) \tag{3} \end{equation}$$ где:

• $\phi_J$является действительным решением (1), которое коммутирует со всем;

• $\phi_0$является операторнозначным решением задачи$J=0$вариант (1), удовлетворяющий коммутационному соотношению (2).

Теперь предположим, что ток отличен от нуля только в пределах конечного интервала времени$0<t<T$:

$$\begin{equation} J(t,\mathbf{x})=0 \hskip1cm \text{ except for }0<t<T \tag{4} \end{equation}$$ и выбрать $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x})=0 \hskip1cm \text{ for }t\leq 0. \tag{5} \end{equation}$$ Всем этим условиям удовлетворяет $$\begin{equation} \phi_0(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a_0(\mathbf{p})+e^{i\omega t}a_0^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{6} \end{equation}$$ и $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x}) = \int ds\ \theta(t-s) \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, i\,\frac{e^{-i\omega (t-s)}-e^{i\omega (t-s)}}{2\omega}\, \tilde J(s,\mathbf{p}) \tag{7} \end{equation}$$ с $$\begin{equation} \omega\equiv \sqrt{\mathbf{p}^2} \hskip2cm \tilde J(s,\mathbf{p}) \equiv \int d^3x\ e^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\,J(s,\mathbf{x}), \tag{8} \end{equation}$$ а где операторы$a_0(\mathbf{p})$и их сопряжения удовлетворяют $$\begin{equation} \big[a_0(\mathbf{p}),\,a_0^\dagger(\mathbf{p}')\big]=(2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{p}'). \tag{9} \end{equation}$$ Операторы$a_0$и$a_0^\dagger$являются просто базовым набором операторов, с помощью которых может быть выражено все остальное в операторной алгебре. Определите вектор состояния$|0\rangle$по условиям $$\begin{equation} a_0(\mathbf{p})\,|0\rangle = 0 \hskip2cm \langle 0|0\rangle = 1 \tag{10} \end{equation}$$ для всех$\mathbf{p}$, и предположим, что состояние системы представлено$|0\rangle$. Здесь используется картина Гейзенберга, поэтому вектор состояния не зависит от времени, но физическое состояние, которое он представляет, по-прежнему изменяется во времени, потому что это делают наблюдаемые .

Остальная часть этого ответа посвящена интерпретации вектора состояния (10) как для$t<0$и для$t>T$, сначала с точки зрения фотонов, а затем с точки зрения радиоволн.

---

Интерпретация с точки зрения фотонов

Уравнение (5) говорит о том, что для$t<0$у нас есть знакомое свободное скалярное поле, и тогда мы признаем состояние, определяемое (10), как вакуумное состояние — состояние с наименьшей энергией, без фотонов. Это, конечно, и послужило мотивом выбора государства (10).

Вопрос в том, что происходит в$t > T$после временного течения$J$. Для этих времен уравнение (4) говорит, что множитель$\theta(t-s)$можно опустить в уравнении (7), потому что оно уже навязано самим током. Поэтому для этих поздних времен решение (3) можно записать

$$\begin{equation} \phi(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a(\mathbf{p})+e^{i\omega t}a^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{11} \end{equation}$$ с $$\begin{equation} a(\mathbf{p}) \equiv a_0(\mathbf{p}) + a_J(\mathbf{p}) \hskip2cm a_J(\mathbf{p}) \equiv \frac{i}{\sqrt{2\omega}}\int ds\ e^{i\omega s}\tilde J(s,\mathbf{p}). \tag{12} \end{equation}$$ Комплекснозначная функция$a_J$кодирует эффект тока.

Прежде чем мы сможем интерпретировать состояние (10) в терминах фотонов в разы$t>T$, нам нужно определить, какие операторы представляют собой операторы рождения/уничтожения фотонов в эти моменты времени. Гамильтониан, связанный с уравнением движения (1), имеет вид

$$\begin{equation} H(t) = \int d^3x\ \left(\frac{\dot\phi^2(t,\mathbf{x}) +(\nabla\phi(t,\mathbf{x}))^2}{2}-\phi(t,\mathbf{x}) J(t,\mathbf{x})\right). \tag{13} \end{equation}$$ Из уравнений (9) и (12) следует $$\begin{equation} \big[a(\mathbf{p}),\,a^\dagger(\mathbf{p}')\big] =(2\pi)^3\delta^3(\mathbf{p}-\mathbf{p}'). \tag{14} \end{equation}$$ В любое время, для которого$J=0$, из уравнений (11) и (13)-(14) следует $$\begin{align} H(t)= \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \omega\,a^\dagger(\mathbf{p})a(\mathbf{p}) +h(t) \tag{15} \end{align}$$ где$h(t)$является функцией с действительным знаком, которая не влияет на этот анализ. В любое время$J=0$, все эти уравнения имеют тот же вид, что и в случае свободного поля (где$J$равен нулю на все времена). Исходя из этого, мы можем интерпретировать$a(\mathbf{p})$и его сопряженные операторы, уничтожающие и создающие (соответственно) фотон с указанным импульсом в раз$t>T$. Обоснование этой интерпретации идентично соответствующему обоснованию для$a_0$во время$t<0$.

Теперь, когда мы знаем, какие операторы создают и уничтожают фотоны в$t>T$, мы можем интерпретировать состояние$|0\rangle$в эти времена. Из уравнений (10) и (12) следует

$$\begin{equation} a(\mathbf{p})\,|0\rangle = a_J(\mathbf{p})\,|0\rangle, \tag{16} \end{equation}$$ которое является определяющим уравнением многомодового когерентного состояния . Штат$|0\rangle$был выбран потому, что он представляет вакуумное состояние для$t<0$, но уравнение (16) говорит, что это уже не вакуумное состояние по отношению к наблюдаемым при$t>T$. Вакуумное состояние при$t>T$вместо этого представлен вектором состояния$|T\rangle$что удовлетворяет $$\begin{equation} a(\mathbf{p})\,|T\rangle = 0. \tag{17} \end{equation}$$ Из уравнения (14) следует, что связь между когерентным состоянием (16) и вакуумным состоянием (17) есть $$\begin{equation} |0\rangle \propto \exp\big(A^\dagger \big)\,|T\rangle =|T\rangle + A^\dagger|T\rangle + \frac{1}{2!}(A^\dagger)^2|T\rangle + \frac{1}{3!}(A^\dagger)^3|T\rangle +\cdots \tag{18} \end{equation}$$ с $$\begin{equation} A^\dagger \equiv \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ a_J(\mathbf{p}) a^\dagger(\mathbf{p}). \tag{19} \end{equation}$$ На словах состояние порой$t>T$представляет собой особую суперпозицию разного количества одинаковых фотонов, все с одним и тем же профилем, описываемым комплексной функцией$a_J(\mathbf{p})$.

---

Толкование как радиоволна

В любое время$t$, из уравнений (3)–(10) следует

$$\begin{equation} \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})|0\rangle=\phi_J(t,\mathbf{x}) \tag{20} \end{equation}$$ и $$\begin{equation} \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})\phi(t,\mathbf{y})|0\rangle - \langle 0|\phi(t,\mathbf{x})|0\rangle\, \langle 0|\phi(t,\mathbf{y})|0\rangle = \langle 0|\phi_0(t,\mathbf{x})\phi_0(t,\mathbf{y})|0\rangle. \tag{21} \end{equation}$$ Уравнение (20) говорит о том, что математическое ожидание квантового поля ведет себя точно так же, как классическая волна, генерируемая током$J(t,\mathbf{x})$. Уравнение (21) говорит о том, что флуктуации результатов измерений амплитуды поля столь же малы, как и в вакууме. Если текущий$J$достаточно велико, так что математическое ожидание (20) достаточно велико, то квадратный корень из (21) будет пренебрежимо мал по сравнению с (20). В этом случае мы имеем классическую волну для всех практических целей. Подбирая частоту колебаний тока, мы можем сделать его радиоволной.

В целом это показывает, что если мы начнем с вакуума в момент времени$t<0$и включить ток в интервале$0<t<T$, то состояние в разы$t>T$является когерентным состоянием фотонов, и это же состояние можно также интерпретировать как эффективно классическую волну.

---

Классическая суперпозиция против квантовой суперпозиции

Обратите внимание, что классическая суперпозиция двух таких эффективно-классических волн получается путем добавления соответствующих однофотонных профилей в показатель степени уравнения (18), например:

$$\begin{equation} \exp\big(A_1^\dagger + A_2^\dagger\big)\,|T\rangle. \tag{22} \end{equation}$$ Это следует из того, что такую ​​суперпозицию создает классический ток вида$J=J_1+J_2$, где$J_1$и$J_2$могут быть локализованы в разных областях пространства (например). Напротив, квантовая суперпозиция двух эффективно-классических волн имеет вид $$\begin{equation} \exp\big(A_1^\dagger\big)\,|T\rangle + \exp\big(A_2^\dagger\big)\,|T\rangle. \tag{23} \end{equation}$$ В этом состоянии уравнение (21) не выполняется; флуктуации в результатах измерения амплитуды поля обычно столь же велики, как и ожидаемое значение, поэтому квантовая суперпозиция двух эффективно-классических волн совсем не похожа на классическую волну.