Какая была связь между Давидом Гильбертом и Стефаном Банахом?

Стоит отметить, что абстрактное определение гильбертова пространства (как полного пространства внутреннего произведения) не принадлежит Гильберту. Вейль излагает историю в своем мемориальном эссе «Дэвид Гильберт и его математические работы» (Bull. Amer. Math. Soc. v.50 p.612--654). В своей работе по интегральным уравнениям Гильберт исследовал только одно конкретное гильбертово пространство: пространство бесконечных последовательностей, суммируемых с квадратом. Он не использовал интеграцию Лебега; только позже Рисс и Фишер показали эквивалентность функций, интегрируемых с квадратом Лебега. Вейл добавляет:

Я упоминаю об этих деталях, потому что исторический порядок событий мог быть предан забвению многими из наших молодых математиков, для которых гильбертово пространство приобрело тот абстрактный оттенок, который больше не различает две реализации...

(Есть также апокрифическая история о том, что Гильберт посетил лекцию и подошел в конце, чтобы спросить докладчика: «Что такое гильбертово пространство?»)

Банах, напротив, дал абстрактную формулировку банаховых пространств в своей диссертации вместе со своей мотивацией:

Настоящая работа имеет целью установление некоторых теорем, справедливых для нескольких различных разделов математики, которые будут уточнены позже. Однако, чтобы не доказывать эти теоремы для каждой ветви в отдельности, что было бы очень утомительно, я избрал другой путь, а именно: я рассматриваю в общем виде наборы элементов, для которых я постулирую определенные свойства. Из них я вывожу теоремы, а затем доказываю для каждой отдельной области математики, что принятые постулаты верны для нее.

Другими словами, Банах добивается экономии доказательств с помощью аксиоматического метода. Таким образом, его мотивация полностью отличается от мотивации Гильберта.

Возвращаясь к вашему первоначальному вопросу: мне не удалось обнаружить никакой личной связи между Гильбертом и Банахом. Имя «Банах» не фигурирует в указателе биографии Констанции Рид « Гильберт» ; запись MacTutor для Гильберта не содержит «Банаха», а запись MacTutor для Банаха содержит только одно появление Гильберта, где отмечается, что работа Банаха «обобщила вклад Вольтерры, Фредгольма и Гильберта в интегральные уравнения».

Тем не менее, этого одного предложения, вероятно, достаточно для объяснения. Гильберт выполнил свою работу над интегральными уравнениями в начале 1900-х годов, и вскоре она была развита Риссом, Фишером, Шмидтом и другими. Диссертация Банаха была написана в 1920 году. Неудивительно, что, приступив к работе в этой области, Банах обратил пристальное внимание на соответствующие опубликованные работы одного из выдающихся математиков того времени.

Насколько мне известно, между Гильбертом и Банахом нет особой связи. Конечно, Гильберт был одним из самых влиятельных математиков того времени, и его влияние было широко распространено.

Однако было бы также неправильно рассматривать сначала Гильберта, а затем Банаха как прямую преемственность. Были различные влияния и вклады в развитие того, что теперь банахово пространство. [Действительно, это понятие было почти параллельно введено и другими, в частности Винером. (Банах был тем, кто извлек из этого наибольшую пользу и по праву получил «кредит имени»)] Другие имена, которые можно было бы упомянуть помимо Гильберта, включают Фредгольма, Рисса, Фишера, Фреше, Лебега.

А именно, хронология в «Истории банаховых пространств и линейных операторов» Питча имеет 12 записей (начиная с 1902 г.) до тезиса Банаха в 1920 г.

В этом контексте можно также отметить, что Банах посетил Париж в 1924–1925 годах.

Нет никаких известных записей о какой-либо личной встрече между Банахом и Гильбертом. Но не такой уж и случайной связью между ними был Хьюго Штайнхаус (первооткрыватель Банаха, а позже сотрудник и коллега), который был аспирантом Гильберта в Геттингене. Диссертация Штейнгауза под названием « Neue Anwendungen des Dirichlet'schen Prinzips» , защищенная в 1911 г., была еще довольно традиционной в своем подходе к вариационным задачам для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

С другой стороны, докторская диссертация Банаха O operacjach na zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do równań cłkowych [Об операциях над абстрактными множествами с приложениями к интегральным уравнениям], защищенная во Львове в 1920 г., ввела фундаментальные понятия и свойства линейных нормированных полных пространств (в аксиоматический способ) и применил их к интегральным операторам, определяемым ядрами. Фактический тезис Банаха и его защита стали легендами, но, по крайней мере, есть публикация, основанная на этом тезисе, С. Банах, Sur les opérations dans les ансамбли abstracts et leur application aux équations intégrales }, Fundamenta Mathematicae 3 (1922) , стр. 133-181. Во введении Банах упоминает предшествующие работы по «функциональным операциям» Вольтерры, Фреше, Адамара, Ф. Рисса, Пинхерле, Штейнхауза, Вейля, Лебега и других. Он особенно ценит работы Гильберта, которые, по его словам, позволили рассматривать (пространства) функций, интегрируемых с квадратом, а не только гладких функций. Это также свидетельствует о том, что Банах изучал работы Гильберта перед поездкой в ​​Париж.

Более того, в 1917 г. Банах и Штейнгауз жили в Кракове и принимали участие в собраниях неформального математического общества. Другими членами этой группы были математики Влодзимеж Стожек, Владислав Слебодзинский, Леон Хвистек (также философ и художник) и физик Ян Норберт Кроо, все из которых какое-то время учились в Геттингене.