Какая модель является хорошей для расчета капель воды на поверхности?

Как я уже говорил, я думаю, что любой код трехмерной гидродинамики будет работать. Основы гидродинамики можно свести к следующим пяти уравнениям:

$$\begin{eqnarray} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0 \tag{1} \\ \frac{\partial \rho\mathbf{v}}{\partial t}+\nabla\cdot\left[\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}+P\mathbb I\right]=\rho\mathbf{g} \tag{2,3,4} \\ \frac{\partial E}{\partial t}+\nabla\cdot\left[\left(E+P\right)\mathbf{v}\right]=\rho\mathbf{g}\cdot\mathbf{v} \tag{5} \end{eqnarray}$$ где $\rho$ваша массовая плотность, $\mathbf{v}$скорость, $P=\left(\gamma-1\right)\left(E-\frac12\rho v^2\right)$- давление жидкости (предполагается, что это идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$), $\mathbb I$единичная матрица (тензор), $E$- полная энергия (внутренняя и кинетическая), а $\mathbf{g}$гравитационное ускорение. По порядку эти три описывают сохранение массы , сохранение импульса и сохранение энергии .

Поскольку компьютеры являются дискретными объектами, мы определяем объем$dx\cdot dy\cdot dz$(обычно$dx=dy=dz$так что объем$dx^3$, но это не обязательно верно) с положением по центру ячейки$(x_i,\,y_j,\,z_k,\,t_n)$где$i,j,k,n\in \mathbb Z$. Затем каждая переменная определяется усредненным по объему значением:

$$\rho_{i,j,k}^n = \rho\left(x_i,\,y_j,\,z_k,\,t_n\right)$$

Затем мы можем численно смоделировать три уравнения сохранения как (я собираюсь использовать для примера сохранение массы)

$$\frac{\rho^{n+1}_{i,j,k}-\rho^n_{i,j,k}}{dt}=\frac{\pi_{x;\,i+1,j,k}^n-\pi_{x;\,i-1,j,k}^n}{2dx}+\frac{\pi_{y;\,i,j+1,k}^n-\pi_{y;\,i,j-1,k}^n}{2dy}+\frac{\pi_{z;\,i,j,k+1}^n-\pi_{z;\,i,j,k-1}^n}{2dz}$$ где $\pi=\rho\mathbf{v}$. Вышеприведенное использует прямую разность для временной производной, в то время как пространственные производные используют центральную разность. В этом уравнении есть некоторые предостережения относительно стабильности (например, $dt\leq c_{s,max}dx/n_{dim}$производная по времени ограничена максимальной скоростью волны, деленной на число измерений, умноженное на длину ячейки), но ее довольно просто реализовать.

В трех измерениях вы можете решать уравнения направленно (т.е.$x,\,y,\,z$решаются независимо, но в чередующемся порядке на каждом временном шаге), или вы можете объединить их в то, что называется «угловым транспортом», где поток, скажем,$\pi_{i-1,j-1,k}$учитывается при нахождении$\rho_{i,j,k}^{n+1}$. Последний вариант сложнее кодировать, но он обеспечивает более точное решение, в то время как первый довольно легко реализовать.

Для граничных условий вам понадобится отражающая граница на поверхности ($\mathbf{v}\cdot\hat{n}\to-\mathbf{v}\cdot\hat{n}$где$\hat{n}$является нормальным направлением к поверхности) и, вероятно, экстраполируется везде ($\rho_{I,j,k}=\rho_{I-1,j,k}$где$I$это максимальное количество ячеек в$x$направление). Эти две границы и приведенные выше 5 уравнений должны позволить вам полностью смоделировать столкновение капли воды с поверхностью.

Вы также можете добавить эффекты вязкости к уравнениям (2,3,4), добавив к RHS дивергенцию тензора вязкости,$\tau$:

$$\tau=\rho\nu\left[\nabla\mathbf{v}+\left(\nabla\mathbf{v}\right)^T-\frac23\mathbb I\nabla\cdot\mathbf{v}\right]$$ с $\nu$кинематическая вязкость . Это усложняет дело, потому что вы вводите производные второго порядка ( $\sim\nabla^2\mathbf v$) и условием устойчивости этих уравнений является $dt\leq \kappa dx^2/n_{dim}$где $\kappa$– параболический коэффициент , в данном случае $\nu$. Есть способы обойти это (например, с помощью неявного метода , который требует решателя матриц), но это определенно усложняет ситуацию.

---

Из всего этого я делаю вывод, что у вас есть два варианта:

1. написать свой собственный 3D-код с нуля
2. ищите на гитхабе чужой код, содержащий всю необходимую физику и приписывайте автора когда и где нужно

Учитывая сложность кодирования кода многомерной гидродинамики (здесь личный опыт), вам может быть значительно проще выбрать вариант 2, но мое единственное предупреждение по этому поводу заключается в следующем: код, который вы найдете и используете, не является черным ящиком , а не должны рассматриваться как таковые ; вы должны понять , что делает код и почему , прежде чем вы сможете даже подумать о запуске кода.

Сначала совет: не игнорируйте воздух! Исследования, проведенные за последние пару лет, показали, что воздух (в частности, атмосферное давление) имеет решающее значение для определения того, производит ли капля всплеск, и если да, то какова динамика. Одной из знаковых статей в этой области является публикация Weitz Group в PRL в 2012 году .

Затем к вашему вопросу о моделировании капли, падающей на брызги. Я думаю, что лагранжев подход для жидкости (т.е. жидких «частиц») действительно даст наиболее реалистичное моделирование, но он также будет чрезвычайно затратным в вычислительном отношении. Поэтому вы можете рассмотреть методы конечного объема, такие как Volume-of-Fluid , Level-Set и Front-Tracking. Трудно дать вам какой-либо совет, какой из них лучше, потому что это во многом зависит от опыта и деталей реализации, но вы можете найти хорошее обсуждение на этом веб-сайте Института Жана Ле Ронда д'Аламбера .