На какое расстояние может подняться вода над краем стакана?

Как указано в ответе Джейми, я предполагаю, что поверхность - это революция о$r=0$, что средняя кривизна пропорциональна перепаду давления, и что радиус чашки намного больше, чем величина, обратная этой средней кривизне. В этом случае среднюю кривизну можно определить как

$$K_m = \frac{r''}{2(1+r'^2)^{\frac32}}$$

Как и в ответе Джейми, уравнение Юнга-Лапласа и гидростатическое давление дают

$$2\,\gamma\,K_m = \Delta P = -\rho\,g\,z$$ Размещение начала координат на поверхности и положительное значение z в направлении силы тяжести.

Объединение урожайности

$$-\rho\,g\,z = \frac{\gamma\,r''}{(1+r'^2)^{\frac32}}$$

Замена$q=r'$дает дифференциальное уравнение первого порядка

$$-\rho\,g\,z = \frac{\gamma\,q'}{(1+q^2)^{\frac32}}$$

Интеграция

$$-\frac12\,\rho\,g\,z^2 = \frac{\gamma\,q}{\sqrt{1+q^2}}+C$$

Мы знаем, что на самом верху воды поверхность плоская, что соответствует$q=r'=\infty$это условие дает$C=-\gamma$

$$z= \sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1-\frac{q}{\sqrt{1+q^2}})}$$

Теперь с тех пор$q=r'=tan\,\alpha$куда$\alpha$описано в вопросе,$z$упрощается до

$$z= \sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1-sin\,\alpha)}$$

Это действительно формула, данная в ответе Джона Ренни.

Итак, теперь вопрос в том, какую альфу использовать. Я предполагаю, что вода будет продолжать расширяться вокруг изогнутой кромки стакана, сохраняя угол контакта, до тех пор, пока точка, в которой дальнейшее движение вдоль кромки не опустит верхнюю часть поверхности в соответствии с приведенным выше уравнением, поскольку в этой точке поверхность будет нестабильной. . Это зависит от изгиба кромки стакана.$r_l$.

Если кромка воды на краю стакана находится в полярной координате$\phi$а жидкость имеет краевой угол$\theta$, тогда$\alpha=\phi-\theta$, и мой общий рост$h$будет дано как

$$h=\sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1-sin(\phi-\theta))}+r_l\,(sin\,\phi-1)$$

К сожалению, это не имеет максимума замкнутой формы по тета, но мы можем видеть, что для малых значений$r$максимум будет, когда$\phi\lt 0$. Это не физическое явление, так как жидкость начнет стекать по стенке стекла и сначала станет нестабильной. Мы можем найти значение r, при котором это происходит.

$$r_l=cos\,\theta\sqrt{\frac{\gamma}{2\,\rho\,g\,(1+sin\,\theta)}}$$ Для любого радиуса края меньше этого значения максимальная высота жидкости будет $$h=\sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1+sin\,\theta)}-r_l$$

Для воды этот радиус составляет примерно$1mm$а для стакана с очень маленьким радиусом высота вычисляется примерно до$4mm$немного выше, чем мне удалось, но вполне разумно для теоретической верхней границы.

Для стекол большего радиуса максимальную высоту можно определить численно. Вот сюжет.

И соответствующие «углы контакта губ»

Я экспериментировал со своей чайной чашкой, красивым длинным цилиндром.

Вода слегка карабкалась по стенам, образуя вогнутую поверхность. Когда он достиг края, я капал водой до тех пор, пока внешний край не стал выпуклым и поверхность воды не стала почти куполом, хотя я вижу только кривизну на краю, где вода не течет, показывая поверхностное натяжение (как к воде, так и к керамике). ).

Я светю фонариком, и видимые отражения на воде. Кривизна справа находится на воде. Он сохранил свою форму после того, как перелился через край (у меня капала вода). Радиус чашки 3,5 см, высота воды около 1 мм.

Я не могу ответить на ваш вопрос, потому что это зависит от формы обода, однако я могу ответить на связанный с этим вопрос, который должен быть легко адаптирован к вашей проблеме.

Если у вас лужа воды на ровной поверхности толщина водяной пленки ,$h$, дан кем-то:

$$h = \sqrt{ \frac{2\gamma_{al}(1 - cos\theta)}{g\rho} }$$

где переменные имеют свои обычные значения:$\gamma_{al}$поверхностное натяжение воздуха/жидкости,$\theta$контактный угол,$g$это ускорение свободного падения и$\rho$это плотность жидкости.

Я думаю, что если ободок стакана имеет полукруглое поперечное сечение, то это даст максимальную высоту жидкости над стаканом и будет применяться, когда край жидкости находится в верхней части обода, то есть в точке, где стакан поверхность горизонтальная.

Я бился об этом весь день, так и не получив реального окончательного ответа, но я добился некоторого прогресса...

На границе воздух-жидкость существует перепад давления, определяемый уравнением Юнга-Лапласа :

$$\Delta p = 2 \gamma K_m,$$

куда$K_m$- средняя кривизна поверхности. Предполагая, что интерфейс представляет собой поверхность вращения,$z = z(x)$, с$x$радиальная координата, средняя кривизна получается:

$$K_m = -\frac{1}{2\sqrt{1+z'^2}}(\frac{z'}{x}+\frac{z''}{1+z'^2}).$$

Это, конечно, очень неразрешимо, поэтому вы обычно надеетесь на склон$z'$быть маленьким, чтобы$z'^2$пренебрежимо мал, так что вы можете обойтись гораздо более простым приближением

$$K_m \approx -\frac{1}{2}(\frac{z'}{x}+z'').$$

На воздушной стороне свободной поверхности у вас есть постоянное атмосферное давление,$p_0$, а с другой стороны будет распределение гидростатического давления,$p_1-\rho g z$, так

$$\Delta p = p_1 - p_0 -\rho g z.$$

В целом форма свободной поверхности определяется уравнением

$$z'' + \frac{z'}{x} -\frac{1}{\lambda^2} z= \frac{p_0 - p_1}{\gamma},$$

куда$\lambda = \gamma / \rho g$- длина капилляра. Теперь, принимая длину капилляра за единицу расстояния, вышеизложенное упрощается до

$$z'' + \frac{z'}{x} - z= \frac{p_0 - p_1}{\rho g}.$$

Если знак на$z$выше, где плюс, вышеизложенное можно было бы преобразовать, выбрав подходящее начало координат для z, в уравнение Бесселя порядка$0$, но я почти уверен, что знак правильный, так что не повезло.

Но если вы посмотрите на настоящий стакан с водой, наполненный до краев, вы увидите, что большая часть изгиба поверхности происходит ближе к краю, тогда как центральная область в основном плоская. Так что если$z'$большой только тогда, когда$x$намного больше, последнее уравнение упрощается до

$$z'' - z= \frac{p_0 - p_1}{\rho g},$$

а если центральная часть идеально ровная, то разницы давлений там не будет, т.е.$p_1=p_0$если происхождение$z$устанавливается на уровне воды в центральной точке, поэтому

$$z'' = z,$$

с граничными условиями$z(0) = 0$а также$z(r)=\tan \alpha$, где нам еще нужно выяснить, что$\alpha$есть, об этом позже.

Решение приведенного выше уравнения

$$z = \tan \alpha \frac{e^x -e^{-x}}{e^r -e^{-r}},$$

а разница между центральной точкой и границей равна$\tan \alpha$измеряется в единицах капиллярной длины или, альтернативно,

$$\Delta h = \sqrt{\frac{\gamma }{\rho g}}\tan \alpha.$$

Итак, какое значение имеет$\alpha$брать? В цилиндрическом сосуде, как указывает Павел,$\alpha$является$\pi/2-\theta$, куда$\theta$- контактный угол , а центр стекла фактически находится ниже границ. Но когда вы наполняете стакан до краев, его округлая природа начинает изгибать внешние границы воды, в конечном итоге делая$\alpha$. Если предположить, что контакт происходит в самой высокой точке обода, то$\alpha$контактный угол, только отрицательный, а центр будет$\sqrt{\gamma / \rho g} \tan \theta$ над краем.

Конечно, вода может выйти за самую высокую точку обода, но я не уверен, как далеко она может уйти, прежде чем все станет нестабильным, и вы прольетесь...

Ответ кроется в поверхностном натяжении. Если налить воду в однородный цилиндр и посмотреть на границу раздела воздух-вода на краю, где вода соприкасается с цилиндром, можно увидеть, что вода немного поднимается вверх по стеклу. Это происходит потому, что вода «смачивает» цилиндр.

Если вода не смачивает цилиндр, вода будет давить на стенку.

Обычный случай — смачивание. В данной ситуации цилиндр можно наполнять до тех пор, пока уровень воды не станет достаточно высоким, чтобы «ползучесть» достигла края. Добавление большего количества воды позволит воде «подняться» над краем.

Так что в этом случае ответ заключается в том, что вы даже не можете полностью заполнить цилиндр.

Кстати, "ползучесть" - это капиллярный эффект. Действительно, оба они являются эффектами поверхностного натяжения. Увеличение радиуса цилиндра минимизирует эффект, но он не исчезнет независимо от того, насколько велик$r$является.