Как рассчитать поверхностную гравитацию

Смотрите здесь.

Сколько гравитации вы хотите?

Допустим, я могу прыгнуть на 1 метр на Земле (я не могу). Затем, используя уравнения кинематики, моя начальная скорость вверх была

$$v_f^2 = v_i^2 + 2gd \rightarrow\sqrt{2gd}=4.4 \text{ m}/\text{s}.$$

Я хочу, чтобы моя скорость убегания была комфортно выше этой, поэтому, скажем, скорость убегания составляет 10 м/с. Вы не должны быть в состоянии спрыгнуть с этого.

Скорость убегания можно рассчитать как

$$\Delta v = \sqrt{2gr}$$ куда $r$радиус астероида и $g$поверхностная сила тяжести, которая сама может быть рассчитана из $$g = \frac{4}{3}\pi G\rho r$$ как показано в приведенной выше ссылке. Установив скорость убегания равной 10 и подключив, получим $$10 = \sqrt{\frac{8}{3}\pi \left(6.67\times10^{-11}\right) (2000) r^2} \rightarrow r = 9459.$$

Вы не можете спрыгнуть с астероида радиусом 10 км. Вероятно.

---

**Редактировать*: Спасибо Mithrandir24601, я должен был рассчитать и массу. Как он это делает в комментариях:

$$M = \frac{4}{3}\pi\rho r^3 = \frac{4}{3}(3.14)(2000)(9459)^3 \approx 7.1\times10^{15} \text{kg}$$

Максимальная высота, на которую может прыгнуть человек, составляет немногим более 70 см для самых лучших спортсменов. Это потому, что единственное, что имеет значение, это то, как высоко поднимается ваш центр тяжести. Я возьму 80 см.

Работа есть произведение силы на расстояние. Вес - это сила$W = gm_0$и когда вы прыгаете в высоту$h$под действием силы тяжести Земли 9,8 м/с с весом$m_0$,$E = hgm_0$это работа, которую проделала гравитация, чтобы остановить вас на максимальной высоте (вся кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию).

Работа, которую вы выполнили, чтобы инициировать прыжок, также равна силе, умноженной на расстояние. Она в точности равна потенциальной энергии гравитации в верхней точке прыжка. При прыжке на астероид длина ваших ног и ваша сила, как мы предполагаем, не меняются (скафандр на тканевой основе имеет упругость в ногах, так что это приблизительно). Вы выполняете такой же объем работы, как и на Земле, а именно$E = 0.8m \times 9.8 m/s^2 \times m_0$.

Скорость убегания определяется выражением (см. Space Mission Engineering: The New SMAD под редакцией Wertz, Everett & Puschell, 2011, стр. 201).$V_e = \sqrt{2GM/R}$куда$G = 6.674 \times 10^{-11}m^3 kg^{-1}s^{-2}$— гравитационная постоянная, M — масса центрального тела и R — ваше расстояние от его центра (для простоты я предполагаю, что оно круглое).

Плотность$\rho$находится в районе г.$1000kg/m^3$для ледяных тел и$3000kg/m^3$для скалистых. В случае тела из никеля мы аппроксимируем общую плотность как$8000kg/m^3$.

Мы хотим рассчитать диаметр R тела, где ваша кинетическая энергия при космической скорости равна$E$выше.

$$0.8m \times 9.8m/s \times m_0 = E = KE = 0.5m_0 \times V_e^2$$ $$0.8m \times 9.8m/s^2 = 0.5 \times V_e^2$$ $$15.68 m^2/s^2 = V_e^2 = 2GM/R$$ все еще предполагая сферу $$M = \rho \times V = \rho \times 4/3 \pi R^3$$ $$15.68 m^2/s^2 = 8/3 G \rho \pi R^2$$ $$\sqrt{(2.8 \times 10^{10} / \rho) m^{-1} kg } = R$$

Подставляя плотности сверху, получаем примерно$R_{icy} \approx 5300m$,$R_{rocky} \approx 3100m$,$R_{iron} \approx 1900m$.

Теперь давайте посмотрим, что происходит с вашими числами. Космонавт по-прежнему может совершить такое же количество работы, чтобы прыгнуть, но его масса будет$m_1 = m_0 + m_{suit}$на астероиде,$\rho = 2000kg/m^3$. В исследовании НАСА 1996 г. (см. «Происхождение и технология усовершенствованного внекорабельного космического скафандра» Г.Л. Харриса, Серия истории Американского астронавтического общества, том 24, 2001 г., стр. 455) указана максимальная масса скафандра в сборе 27 кг для полетов на Марс. Это не включает системы жизнеобеспечения, для сравнения, у Аполлона было (см. стр. 440) 63,2 кг жизнеобеспечения на 100-килограммовом костюме. Будем считать, что будущий костюм представляет собой облегающий эластичный костюм, почти вся масса которого приходится на систему жизнеобеспечения, не дающий упругости в ногах и массирующий только$m_{suit} = 30kg$общий. Примечание. Вы указали вес космонавта как 30 кг. Это маленький ребенок, поэтому я предполагаю, что вместо этого предназначено 70 кг.

$$0.8m \times 9.8m/s^2 \times m_0 = E = KE = 0.5 m_1 \times V_e^2$$ $$0.8m \times 9.8m/s^2 \times 70kg = 0.5 \times 100kg \times V_e^2$$ $$10.976 m^2/s^2 = V_e^2 = 2GM/R = 8/3 G \rho \pi R^2 = 8/3 \times 6.674 \times 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2} \times 2000 kg/m^3 \times \pi \times R^2$$ $$R^2 = 9.815 \times 10^6 m^2$$ $$R \approx 3100 m$$

Это оказывается близким к приведенному выше приближению скалистого тела только потому, что увеличение массы было компенсировано уменьшением силы тяжести.

Изменить: Наконец, поскольку вам нужна масса:

$$M = 4/3 \pi R^3 \times \rho = 4/3 \times 2000kg/m^3 \times \pi \times (3100m)^3 = 2.50 \times 10^{14} kg$$

Действительно, наконец, на этот раз: поскольку вы обновили массу до 80 кг, и мы можем предположить, что масса костюма составляет 10 кг, включенная в это, вот как ответ изменится по сравнению с моим ответом 100 кг с массой костюма 30 кг:

$$V_e^2 = 10.976m^s/s^2 \times 100kg/80kg = 13.720m^2/s^2$$ $$R \approx 3100m \times \sqrt{100kg/80kg} \approx 3500m$$ $$M = 2.50 \times 10^{14}kg \times (\sqrt{100/80})^3 = 3.6 \times 10^{14}kg$$