Какая симметрия связана с законом сохранения локального числа частиц для жидкости?

Теорема Нётер в ее обычной форме предполагает, что система (в данном случае жидкость) управляется принципом действия. Предположим для простоты, что жидкость состоит только из жидких частиц одного типа.

I) В лагранжевой картине жидкости с самого начала проявляется (локальное) сохранение частиц жидкости, поскольку динамические переменные являются метками${\bf a}$частиц жидкости.

Будем считать, что метки выбраны так, что массовая плотность в метке${\bf a}$-space (в отличие от position${\bf r}$-пространство) является константой. Тогда сохранение частиц равносильно сохранению массы.

$$\tag{1} \frac{D\rho }{Dt} +\rho {\bf \nabla} \cdot {\bf u} ~\equiv~ \frac{\partial \rho }{\partial t} + {\bf \nabla} \cdot (\rho {\bf u})~=~ 0.$$

II) В эйлеровой картине жидкости массовая плотность$\rho$является динамическим полем. Сохранение массы (1) определяется уравнением Эйлера-Лагранжа для непарной переменной$\phi$в потенциале скорости Клебша

$$\tag{2} {\bf u}~=~{\bf \nabla}\phi +\ldots.$$

Соответствующая глобальная симметрия$\phi \to \phi+ \text{const}.$

Использованная литература:

1. Р. Сэлмон, Гамильтонова механика жидкости, Ann. Рев флюид. мех. (1988) 225 . Файл в формате pdf можно скачать с сайта автора .

Я не думаю, что вы должны думать о сохранении частиц как о законе сохранения в контексте классической физики. Как говорит Qmechanic в классической системе, число частиц является числом степеней свободы и фиксируется как определение проблемы. Как только мы решили, сколько частиц будет там, мы можем написать лагранжиан, исследовать его симметрии и найти сохраняющиеся заряды.

В случае гидродинамики существует бесконечное число частиц. Плотность, заменяющая число частиц, является термодинамической величиной. Его динамика (и связанные с ней законы сохранения) затем фиксируется выбором уравнения состояния. Мы могли бы представить себе жидкость, состоящую из частиц, которые распадаются при тесном контакте. Затем повышение плотности вызовет еще больший распад, что, в свою очередь, снова понизит плотность. (равновесное) уравнение состояния запрещало бы высокие плотности, а уравнение неразрывности имело бы дополнительный член потерь.

Гидродинамика — это в основном список законов сохранения. Однако он не знает, откуда они берутся. Чтобы написать уравнения гидродинамического течения, мы предполагаем, что существует термодинамическая основа .системы частиц и что она описывается некоторым гамильтонианом. Однако каждый элемент жидкости находится в тепловом равновесии, так что существует бесконечно много степеней свободы, которые не описываются уравнениями гидродинамики и могут поглощать (или излучать) энергию, импульс и (если вы придумаете соответствующий пример) частицы. Это происхождение вязкости и причина, по которой нам нужно дополнительное уравнение состояния, чтобы замкнуть гидродинамические уравнения. Тогда мы знаем, что энергия и импульс сохраняются (поскольку существует основной гамильтониан, и мы контролируем силы, приложенные к системе извне), так что мы можем просто записать законы сохранения в терминах термодинамических величин: плотности, локальной средней скорости, и т. д.

Однако в квантовой теории поля ситуация иная. Там частица может преобразовываться в энергию и обратно, и мы рассматриваем системы, в которых число частиц не фиксировано. В этом случае существует симметрия, обеспечивающая сохранение частиц: полные повороты фаз. В квантовой физике степени свободы — это комплексные числа. Однако их общая фаза физически не наблюдается и не влияет на динамику. Если все объекты теории умножить на одно и то же комплексное число модуля, равное единице, лагранжиан не изменится. У нас есть симметрия, и соответствующий закон сохранения — это закон сохранения частиц (или сохранения заряда, если частицы заряжены).

Обратите внимание, что я не читал «Р. Лосось, Гамильтонова механика жидкости, Ann. Рев флюид. мех. (1988) 225'. (См. ответ Qmechanic.) Я не знаю, возможно ли (и как) написать гамильтониан для гидродинамики и дает ли он законы сохранения. Однако, даже если это возможно, я предпочитаю думать о гидродинамике как о феноменологической теории, которая «угадывается», записывая законы сохранения.