Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

I) Давайте для простоты ответим на вопрос ОП в контексте точечной механики, где$q^i$являются обобщенными координатами положения на некотором многообразии$M$[вместо рассмотрения теории поля с полями$\phi^{\alpha}(x)$]. Вопрос ОП основан на разнице между

1. с одной стороны, бесконечно малая вариация

   $$\tag{1} q^i~\rightarrow \widetilde{q}^i~=~ q^i+\delta q^i$$ координат обобщенного положения или, что то же самое, $$\tag{2} \delta q^ ~:=~ \widetilde{q}^i-q^i;$$

2. а с другой стороны, генератора /элемента алгебры Ли/векторного поля

   $$\tag{3} Y~=~Y^i\frac{\partial}{\partial q^i},\qquad Y^i~=~Y^i(q),$$ что не является бесконечно малым (хотя$Y$иногда ошибочно называют в литературе «бесконечно малым генератором»).

Обе концепции$\delta$и$Y$являются линейными производными , которые удовлетворяют правилу Лейбница , и взаимосвязь между ними задается выражением

$$\tag{4} \delta q^i~=~\epsilon Y^i,$$

где$\epsilon$в уравнении (4) — бесконечно малый параметр. Математическая концепция векторного поля $Y$биективным образом связан с понятием потока$^1$

$$\tag{5} \sigma:~]\!-\!c,c[ ~\times~ M~\to~ M, \qquad ]\!-\!c,c[ ~\subseteq~ \mathbb{R},$$

где

$$\tag{6} \frac{d}{d\epsilon}\sigma^i(\epsilon,q)~=~Y^i(\sigma(\epsilon,q)), \qquad\sigma^i(\epsilon=0,q)~=~q^i.$$ Поток $\sigma$удовлетворяет $$\tag{7} \sigma^i(\epsilon,\sigma(\epsilon^{\prime},q))~=~\sigma^i(\epsilon+\epsilon^{\prime},q).$$ Обратите внимание, что в ур. (7), понятно, что $\epsilon$и $\epsilon^{\prime}$действительные числа в интервале $]\!-\!\frac{c}{2},\frac{c}{2}[ \subseteq \mathbb{R}$, а не бесконечно мало.

II) (голый) заряд Нётер

$$\tag{8} Q ~=~p_i Y^i$$

(в данном случае) импульс

$$\tag{9} p_i ~:= ~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}$$

генератор раз$Y^i$. В частности, определение (5) нётеровского заряда$Q$не зависит от$\epsilon$параметр.

--

$^1$Мы игнорируем возможность того, что домен$]\!-\!c,c[$может зависеть от начального положения$q\in M$.

В какой-то степени двусмысленность является просто вопросом обозначений. Некоторые люди написали бы универсальное преобразование с одним параметром как

$$\phi(x) \to \phi(x) + \alpha\delta\phi(x) + \mathcal O(\alpha^2)$$ так что $\delta\phi(x)$- коэффициент малого параметра $\alpha$как с выражениями в обычном исчислении, такими как $$f(x+\alpha) = f(x) + \alpha f'(x) + \mathcal O(\alpha^2)$$ В этих обозначениях преобразование $$\phi(x) \to \phi(x) + \alpha$$ было бы $\delta\phi(x) = 1$, и в этом случае вы восстановите результат Пескина. Изменение обозначений на самом деле является просто делом вкуса, когда вы работаете с однопараметрическими семействами преобразований. Как вы указываете, для любого действительного числа $\alpha$, оба $\alpha\partial_\mu\phi$и $\partial_\mu\phi$сохраняются, и их уравнения сохранения совпадают.

Дополнение. Когда дело доходит до этого, в физическом контексте все, что действительно имеет значение, — это класс эквивалентности, соответствующий всем выражениям для сохраняемой величины, которые отличаются постоянным, ненулевым мультипликативным множителем (поскольку их соответствующие уравнения сохранения одинаковы), поэтому проблема здесь действительно просто вопрос семантики.

Ваше здоровье!