Какова максимальная частота звука в данной среде?

Не знаю, как прямо ответить на ваш вопрос. Что происходит на высоких (достаточно) частотах, так это то, что модель континуума больше не действует. Таким образом, мы, вероятно, можем оценить, что максимальная частота связана с минимальной длиной волны, т.е.

$$\lambda_\min >> a$$

где$a$является характерным масштабом на микроуровне. Таким образом, когда эти две шкалы далеко друг от друга, мы можем доверять континуальной модели.

Ниже вы можете увидеть вывод дисперсионных кривых для одноатомного кристалла, предполагая, что взаимодействие происходит с первыми соседями и опосредовано линейными пружинами. Согласно этой модели, существует максимальный предел частот, распространяющихся через этот материал , когда две шкалы длин одинаковы.

Пример: простая массивно-пружинная решетка.

Рассмотрим систему, изображенную на следующей схеме.

Простая массивно-пружинная решетка.

Сила в самолете$s$вызвано смещением самолета$s+p$пропорциональна разнице$u_{s+p}-u_s$перемещений. Мы будем рассматривать только взаимодействия ближайших соседей, поэтому$p=\pm 1$. Общая сила на$s$исходит из самолетов$s=\pm 1$:

$$\begin{equation} F_s = c(u_{s+1}-u_s)+ c(u_{s-1}-u_s). \end{equation}$$ Постоянная$c$является жесткостью между ближайшими соседними плоскостями и будет различаться для продольных и поперечных волн.

Уравнение движения самолета$s$является

$$m \ddot{u} = c(u_{s+1} + u_{s-1} -2 u_s),$$ в предположении гармонической временной зависимости$\exp(-i\omega t)$ $$\begin{equation} -m\omega^2 u_s = c(u_{s+1} + u_{s-1} - 2u_s) \enspace . \tag{1} \end{equation}$$

Используя теорему Блоха

$$u_{s\pm 1} = u_s e^{\pm i ka}.$$ Итак, (1) теперь $$-m \omega^2 u_s = c (u_s \exp(ika) + u_s \exp(-ika) - 2u_s)$$ и отмена$u_s$с обеих сторон имеем $$\omega^2 m = -c[ \exp(ika) + \exp(-ika) - 2 ] \enspace .$$

Использование личности$2\cos ka = \exp(ika) + \exp(-ika)$, и принимая$\Omega^2 = \omega^2/\omega_0^2 = \omega^2 m/c$, имеем дисперсионное соотношение

$$\begin{equation} \Omega^2 = 2 (1-\cos ka) \enspace . \tag{2} \end{equation}$$

Граница первой зоны Бриллюэна лежит на$k=\pm \pi/a$. Из (2) показываем , что наклон$\Omega$против$ka$равен нулю на границе зоны

$$\frac{d\Omega^2}{d\, ka} = 2\sin ka=0$$ в$ka=\pm \pi$,$\sin ka = 0$.

По тригонометрическому тождеству (2) можно записать как

$$\begin{equation} \Omega^2 = 4 \sin^2 \frac{1}{2}ka, \qquad \Omega = 2\left\vert \sin \frac{1}{2} ka\right\vert \enspace . \end{equation}$$

Сюжет$\Omega$против$ka$. Регион$ka<<1$или$\lambda/a>>1$соответствует континуальному приближению; где$\Omega$прямо пропорциональна$ka$(и заключена между пунктирными линиями). Первая зона Бриллюэна расположена между$-1$и$1$.