Почему длина стержней игрушечного глокеншпиля не пропорциональна длине волны?

Ответ на этот вопрос во многом совпадает с моим ответом о настройке фортепиано . Там я обсуждаю, как толстая проволока имеет дополнительную восстанавливающую силу, помимо натяжения, от ее сопротивления изгибу. Это изменяет обычное волновое уравнение на

$$v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - A \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$ В этом случае все наоборот: напряжение ничтожно, поэтому у нас есть только «лишнее» слагаемое. Волновое уравнение становится $$-A \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$ Включение анзаца $\cos(kx-\omega t)$дает дисперсионное соотношение $$Ak^4 = \omega^2.$$ То есть, $\omega \propto k^2$. С $k$обратно пропорциональна длине, $$\omega \propto 1/L^2$$ по желанию. Бар $\sqrt{2}$раз короче, делает тон в два раза выше.

---

Как вы видели, скорость волны должна измениться, чтобы результаты имели смысл. Фазовая скорость волны равна$v_p = \omega / k$, и это постоянно только для простейшего дисперсионного уравнения, идеального волнового уравнения$\omega = vk$. В этом случае мы имеем$\omega \propto k^2$, что подразумевает$v_p \propto k$. Волны с более короткой длиной волны, такие как волны на меньших полосах, распространяются быстрее.

Но это не значит, что в меньших барах все по-другому. Фазовая скорость изменяется, потому что распространение волны на стержнях принципиально отличается от распространения на струнах; он демонстрирует дисперсию .

Как определяет Кнчжоу, ключевое различие между колебаниями свободной балки и струны заключается в том, что восстанавливающая сила теперь обеспечивается изгибающими моментами (пропорциональными$\frac{d^4y}{dx^4}$), а не линейное натяжение (пропорциональное$\frac{d^2y}{dx^2}$).

Следствием этого, как показывает этот источник , является то, что для свободных лучей, таких как стержни глокеншпиля, угловая частота$\omega=2\pi f$и волновое число$k=\frac{2\pi}{\lambda}$связаны

$$\omega^2=\frac{YI}{\rho A} k^4$$

куда$I=\frac{1}{12}bh^3$- 2-й момент площади поперечного сечения относительно горизонтальной оси, проходящей через центр, и$A=hb$это площадь поперечного сечения.

Поскольку стержни не имеют ограничений в любой точке, длина волны не соответствует точно кратному длине стержня. Однако в каждом режиме одно и то же соотношение применимо к разным длинам стержней. В основном режиме стержни колеблются с узлами прибл.$0.224L$с каждого конца ( источника ), так что$\lambda=1.104L$. Это приводит (я думаю) к

$$f=1.488\frac{h}{L^2}\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$$

которая имеет ту же форму, что и приведенная здесь формула , но ведущий фактор не совсем согласуется.

Частота обратно пропорциональна квадрату длины, поэтому уменьшение частоты вдвое требует увеличения длины в 10 раз.$\sqrt2=1.414$как вы нашли.