Какова площадь Летнего треугольника?

Площадь треугольника, окруженного тремя звездами на небесной сфере, в квадратных градусах определяется по формуле:

$$A = \frac{180}{\pi}\times E$$

Где Е — сферический избыток , равный сумме всех углов треугольника минус 180°. Проблема в том, что мы не знаем углов Летнего Треугольника, и вместо этого мы должны использовать альтернативное уравнение для сферического избытка, определяемое как:

$$E = 4\tan^{-1}\left({\sqrt{\tan\left(\frac{s}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-a}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-b}{2}\right)\times\tan\left(\frac{s-c}{2}\right)}} \right)$$

Где a, b и c — угловые расстояния между двумя звездами и, следовательно, между сторонами Летнего треугольника в градусах, а$s = \frac{a+b+c}{2}$.

Я настоятельно рекомендую вам просто зайти в Wolfram Alpha и просто ввести «Угловое расстояние между звездой 1 и звездой 2» и получить все значения для a, b и c, а затем вы можете рассчитать сферический избыток, а затем площадь.

Но если вы настаиваете на головной боли и самостоятельном поиске значений, проверьте следующий раздел. В противном случае пропустите вниз.

---

Угловое расстояние между двумя звездами на небесной сфере определяется как:

$$\cos^{-1} \left ( \sin(\text{D} _{1})\sin(\text{D} _{2})+\cos(\text{D} _{1})\cos(\text{D} _{2}) \cos(\text{R} _{1}-\text{R} _{2})\right )$$

Где:

• $\text{D}_{1}$и$\text{D}_{2}$- значения склонения обеих звезд в градусах.

• $\text{R}_{1}$и$\text{R}_{2}$- значения прямого восхождения для обеих звезд, также в градусах.

Чтобы преобразовать склонение звезды из DMS в градусы, разделите угловые минуты на 60, а угловые секунды на 3600. Например, склонение Веги составляет 38° 47' 1,28 дюйма. При преобразовании только в градусы получается:

$$38 + \frac{47}{60} + \frac{1.28}{3600} = 38.7836°$$

Точно такая же формула используется для преобразования RA в градусы, с той лишь разницей, что вы умножаете ее на 15 в конце. Прямое восхождение Веги составляет 18 часов 36 минут 56,33 секунды. Преобразовывая только в градусы, это становится:

$$\left(18 + \frac{36}{60} + \frac{56.33}{3600}\right) \times 15 = 279.2347°$$

Вы можете просто избавить себя от всего этого беспорядка, напрямую получив угловые расстояния от Wolfram Alpha, или вы можете рассчитать их самостоятельно. Я рекомендую первое.

---

Как только вы подставите все числа, вы получите сферический избыток$E = 7.296508$и площадь Летнего Треугольника:

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{A = 418.059 \text{deg}^2}$$

Оно покроет 1,0134% небесной сферы и станет 40-м по величине созвездием на небе, больше Козерога, но меньше Овна.

В Википедии есть формулы площади небесного треугольника в стерадианах (которые они называют «избытком» и пишут$E$) с точки зрения углов, длин сторон и стороны-угла-стороны. Формула угла самая простая, но вычислить углы сложно. Может быть проще рассчитать длины сторон и использовать формулу сторона-сторона-сторона.

Вы можете преобразовать прямое восхождение и склонение в единичный вектор, как показано здесь . Расстояние между точками, представленными единичными векторами$v$и$w$является$cos^{-1}\, v\cdot w$. Подставив три расстояния в формулу, которую Википедия приписывает Л'Юилье, вы получите площадь.

Для многоугольника с более чем 3 вершинами вам придется использовать формулу угла, поскольку она единственная обобщает. Угол между$u$и$w$в$v$является$cos^{-1}\, \frac{v\times u}{||v\times u||}\cdot\frac{v\times w}{||v\times w||}$, но может быть более простой способ его вычисления.