Измерение рассогласования между двумя положениями на небе

Предполагая, что вы имеете в виду угол между линией меридиана, проходящей через точку А, и большим кругом, проходящим через точки А и В, тогда все выглядит примерно так.

Определить векторы из начала координат в A и B, предполагая, что они лежат на единичной сфере, так что$x_A= \cos \delta_A \cos \phi_A$,$y_A = \cos \delta_A \sin \phi_A$и$z_A= \sin \delta_A$и аналогично для B. Здесь$\phi$относится к прямому восхождению и$\delta$является склонением.

Рассматриваемые большие круги определяют плоскости, проходящие через начало координат. Нормаль к плоскости, определяемой OAB, задается векторным произведением$\vec{n_1}=\vec{A}\times \vec{B}$. Точно так же большой круг, проходящий через O, A и NCP$(0, 0, 1)$имеет нормальное значение$\vec{n_2}= \vec{A}\times (0,0,1) = (y_A, -x_A, 0)$.

Угол, который вы ищете, — это угол между этими двумя нормальными векторами, который можно найти из скалярного произведения обычным способом.

$$\cos \theta = \frac{\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}}{|n_1||n_2|}=\frac{\cos \phi_{A}(y_{A}z_{B} - y_{B}z_A) + \sin \phi_{A}(x_Az_B - x_Bz_A)}{|\vec{A}\times \vec{B}|}$$

Позиционный угол P тела ($\alpha_1, \delta_1$) относительно другого тела ($\alpha_2, \delta_2$) можно рассчитать из

$$tan(P)={sin(\Delta\alpha)\over cos(\delta_2)tan(\delta_1)-sin(\delta_2)cos(\Delta\alpha)}$$ куда $\Delta\alpha = \alpha_1-\alpha_2$. Если знаменатель отрицательный, позиционный угол лежит в диапазоне от 90 до 270 градусов.

Ссылка: Жан Меус, Астрономические алгоритмы, второе издание,

Во-первых, следует отметить, что позиционный угол определяется не просто «двумя позициями». Начальная точка отличается от конечной точки, что приводит к разнице в$180^\circ$, в зависимости от того, какой из них первый.

Предыдущие ответы были хорошими, я просто хочу предложить другую точку зрения/вывод. Один из способов определить позиционный угол заключается в том, что это угол от севера против часовой стрелки до рассматриваемого направления, измеренный на орфографической проекции , в которой исходной точкой является ваша начальная точка (при условии, что астрономический стандарт «север вверху, восток слева») .

Алгебра за словами начинается с определения единичного вектора/координат, которые определяют начальную точку:

$$\hat{n}_0 = \left[\begin{array}{c} \cos\alpha_0 \cos\delta_0 \\ \sin\alpha_0 \cos\delta_0 \\ \sin\delta_0 \end{array}\right],$$ с вашей конечной позицией, принимающей ту же форму с$0\rightarrow 1$. Ортографическая проекция на любой вектор — это просто процесс проецирования компонента вектора в направлении$\hat{n}_0$. Стандартная формула для этого $$\vec{v}_\perp = \vec{v} - \hat{n}_0 (\vec{v}\cdot\hat{n}_0).\tag1$$

В принципе, вы можете применить уравнение (1) численно с$\vec{v}$как Северный полюс, а затем как$\hat{n}_1$, то скалярное произведение между нормализованными результатами даст вам позиционный угол.

Однако делать это таким образом, вероятно, является ошибкой. Смотрите, большинство положений в астрономии,$\hat{n}_0$и$\hat{n}_1$, будут разделены небольшим углом, поэтому уравнение (1) сильно пострадает от потери значимости . Вот почему рекомендуется продолжить вывод, чтобы вывести формулу, которая не имеет этой проблемы.

Изучение структуры$\hat{n}_0$стоит сделать, потому что это значительно упростит алгебру. Это то, что вы получите, если начнете с$x$-направленный единичный вектор,$\hat{x}$, вращаться вокруг$y$-ось по$\delta_0$, а затем повернуть вокруг$z$-ось по$\alpha_0$. С этой точки зрения, нахождение двух векторов, перпендикулярных$\hat{n}_0$что нам нужно, довольно просто — просто примените те же матрицы вращения к$\hat{y}$и$\hat{z}$. Другими словами, вы можете прочитать их из столбцов матрицы вращения.

$$\begin{align} R &= \left[\begin{array}{ccc} \cos\alpha_0 & -\sin\alpha_0 & 0 \\ \sin\alpha_0 & \cos\alpha_0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} \cos\delta_0 & 0 & -\sin\delta_0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\alpha_0 & 0 & \cos\alpha_0 \end{array}\right] \\ & = \left[\begin{array}{ccc} \cos\alpha_0 \cos\delta_0 & -\sin\alpha_0 & -\cos\alpha_0 \sin\delta_0 \\ \sin\alpha_0 \cos\delta_0 & \cos\alpha_0 & -\sin\alpha_0 \sin\delta_0 \\ \sin\delta_0 & 0 & \cos\delta_0 \end{array}\right].\tag2 \end{align}$$ Я выбрал, как применять знаки к синусоидальным функциям в двух матрицах вращения, чтобы первый столбец совпадал$\hat{n}_0$.

Назовем второй столбец (2)$\hat{E}'$, а третий столбец$\hat{N}'$. Обратите внимание, что если мы вращаем стандартный набор$x$-$y$осей на 90 градусов против часовой стрелки, то$x$-ось соответствует северу и$y$на восток. Таким образом, мы можем использовать стандартную формулу для двумерной компоненты вектора и его полярного угла, если отождествим$\hat{n}_1\cdot\hat{N}'$как$x$-компонент и$\hat{n}_1\cdot\hat{E}'$как$y$. Эта формула

$$\begin{align} P &= \operatorname{atan2}\left(y,\,x\right)\\ & = \operatorname{atan2}\left(\sin\delta_1\cos\delta_0 - \sin\delta_0\cos\delta_1 \cos(\alpha_1-\alpha_0),\,\cos\delta_0\sin(\alpha_1-\alpha_0)\right). \tag3 \end{align}$$

Так как$\cos\delta > 0$для всех склонений можно было бы сделать формулу более похожей на стандартную из учебников. Мой собственный инстинкт состоит в том, чтобы избегать использования$\tan\delta$потому что она расходится вблизи полюсов. Эта формула будет работать для всех$\alpha$и$\delta$, пока две точки различны. Осталось только повозиться с$x$-подобный аргумент, чтобы заставить его вести себя хорошо, численно, когда точки находятся рядом друг с другом. Для этого используйте$\sin\delta_1\cos\delta_0 = \sin(\delta_1-\delta_0) + \sin\delta_0\cos\delta_1$и$1 - \cos(\alpha_1-\alpha_0) = 2\sin^2\left(\frac{\alpha_1 - \alpha_0}{2}\right)$получить

$$P = \operatorname{atan2}\left(\sin(\delta_1-\delta_0) + 2\sin\delta_0\cos\delta_1 \sin^2\left(\frac{\alpha_1-\alpha_0}{2}\right),\,\cos\delta_0\sin(\alpha_1-\alpha_0)\right). \tag4$$

В принципе, вы хотели бы исследовать, когда лучше использовать (3) или (4) в числовом виде. На практике я подозреваю, что (4) будет лучше, чем (3), с точки зрения численной точности, в подавляющем большинстве случаев, которые волнуют астрономов.