Каково «истинное» расстояние, которое проходит объект, исходя из относительных скоростей?

Чтобы указать расстояние, пройденное объектом, необходимо также указать его положение относительно некоторой исходной точки отсчета. В контексте вашего вопроса не существует «истинного расстояния» или «абсолютного расстояния», которое прошел объект. Вместо этого все измерения расстояния являются относительными, а положение объекта описывается ссылкой на некоторую систему координат или точку в пространстве.

В вашем примере у вас есть два объекта, движущихся с разной скоростью. Затем вы отправились уточнять их положение через определенное время относительно одной и той же точки на земле. Затем вы вычислили относительное расстояние между каждым объектом и получили другое значение. Все идет нормально.

Но затем вы спросили: « Каково «истинное» расстояние, которое проходит объект y? » Ответ относительно чего? Относительно исходной точки на Земле или относительно другого объекта, Луны или чего?

Таким образом, расстояние, которое проходит объект, всегда измеряется относительно некоторой точки отсчета, обычно там, где объект начинает свое движение, или любой другой точки в прошлом.

В теории относительности есть «истинное» расстояние, но оно включает в себя и пространство, и время. Истинное расстояние, которое объект проходит в пространстве-времени между двумя точками, называется «собственным временем» и равно прошедшему времени на часах, которые носят вместе с объектом. Наблюдатель, движущийся относительно объекта, будет полагать, что время часов замедляется из-за замедления времени, но также будет полагать, что объект движется в пространстве, а расстояние в пространстве-времени$ds^2 = dt^2 - \frac{dx^2}{c^2} - \frac{dy^2}{c^2} - \frac{dz^2}{c^2}$будет рассчитано обоими наблюдателями как одно и то же.

Итак, как я уже сказал в своем комментарии, то, как мы определяем расстояние в теории относительности Галилея, полностью, ну... относительно . Мы говорим, что если наблюдатель имеет вектор положения$x$то пройденное ими расстояние равно$\int_t |\dot{x}(t)|dt$(если вы не знакомы с исчислением, вы можете подумать, что оно определяется как сумма его скорости, умноженной на бесконечно малые интервалы времени). Вы можете видеть из структуры определения, что если вы выполняете изменение ссылки (в галилеевской теории относительности,$x'=x-vt$, и ограничиваясь инерциальными системами отсчета), тогда расстояние становится$\int_t|\dot{x}-v|dt$что явно отличается.
Другими словами, расстояние Галилея не является геометрическим свойством. Позвольте мне уточнить. В геометрии мы можем называть геометрические свойства свойствами, которые верны независимо от того, как вы на них смотрите. Такие вещи, как сумма внутренних углов многоугольника, длина вектора, угол двух линий или векторов; все эти вещи являются свойствами самих геометрических объектов, а не способов, которыми мы их описываем. Возьмите вектор; например, вектор$v=1\,e_1+1\,e_2$, где$e_i$являются декартовыми базисными векторами$(1,0),(0,1)$. Длина$v$является$\sqrt{2}$. Теперь возьмем новый базис, который в два раза больше декартова базиса. Длина$v$тогда еще$\sqrt{(\frac{1}{2}2\,e_1)^2+(\frac{1}{2}2\,e_2)^2}=\sqrt{2}$(обратите внимание, что компоненты превращаются в$\frac{1}{2}$потому что вы используете «линейку», которая в два раза больше. Это лучше визуализируется, если вы на самом деле рисуете этот вектор). Расстояние Галилея не является таким свойством.
Если бы наша Вселенная не подчинялась законам общей и специальной теории относительности, это могло бы стать концом истории. Однако эта геометрическая инвариантность длин векторов в геометрии побуждает искать новое определение. Видите ли, измерение длины и расстояния зависит от вида геометрии, на которую вы смотрите: измерение длины линии на плоскости выполняется не так, как измерение длины линии на сферической поверхности. Не вдаваясь в подробности, просто чтобы вы могли посмотреть, эта «разница в измерении длин» описывается математическим объектом, называемым метрическим тензором., которая, таким образом, является своего рода геометрической инвариантной линейкой (в том смысле, что вы можете использовать ее независимо от того, на какой тип геометрии вы смотрите), которая позволяет вам измерять расстояния. Формально в специальной и общей теории относительности определяется новая геометрия, состоящая из пространства и времени, в которой этот метрический тензор таков, что расстояние, пройденное наблюдателем, также является геометрическим свойством. Мы называем его собственным временем, потому что оно совпадает со временем, измеряемым часами, прикрепленными к наблюдателю в его путешествии, и определяется как: