Каковы аналоги FμνFμνF_{\mu\nu} в общей теории относительности?

Предупреждение: этот ответ использует точку зрения второй таблицы, а не первой, в вопросе, связанном с @knzhou.

Нам нужно сначала объяснить, что аналогично$A_\mu$. Символы Кристоффеля. Затем мы можем спросить, что аналогично$F_{\mu\nu}$; тензор Римана. Я подозреваю, что чей-то ответ даст объяснение тому, почему это отличается от того, что я скажу здесь, потому что я буду смотреть на это, возможно, к сожалению, с точки зрения за пределами GR.

Классический электромагнетизм и общая теория относительности являются калибровочными теориями; последний эквивалент местного$U(1)$преобразования — общие преобразования координат. В обоих случаях очень ограниченная симметрия, которая сохраняет частные производные тех тензоров, которые она сохраняет, расширяется до чего-то, для чего сохраненное понятие производной является частной плюс дополнительной. Достаточно сравнить калибровочно-ковариантную производную$\partial_\mu\phi+qA_\mu\phi$(или в неабелевой теории Янга-Миллса,$\partial_\mu\phi_a+qf_a^{\:bc}A_{\mu b}\phi_c$) с римановой связью (она же «ковариантная производная»)$\partial_\mu V^\nu+\Gamma_{\mu\rho}^\nu V^\rho$оценить аналогию.

Мы будем соответственно обозначать линейные операторы, использованные здесь выше, как$D_\mu,\,\nabla_\mu$. Это дает нам коммутаторы:$F_{\mu\nu}\propto[D_\mu,\,D_\nu]$, пока$[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]V_\rho=R_{\mu\nu\rho\sigma}V^\sigma$. (У последнего отсутствует производная от векторного поля, так как у ОТО нулевое кручение.)

В приведенной выше аналогии, что на самом деле аналогично$g_{\mu\nu}$приведенное выше скалярное поле$\phi$.

Этот ответ говорит примерно то же самое, что и ответ @JG, но немного иначе.

Аналогия между тензором Римана$R$и тензор напряженности электромагнитного поля$F$не так очевиден, когда мы украшаем их индексами$F_{\mu\nu}$и$R^\rho_{\,\,\mu\nu\sigma}$. Однако все становится более очевидным, если мы посмотрим немного более абстрактно.

• $F$можно рассматривать как$2$-форма на пространственно-временном многообразии, и она удовлетворяет$dF=0$(внешняя производная). Или по компонентам, для всех$a,b,c$,$\frac{\partial F_{bc}}{\partial x^a}+\frac{\partial F_{ca}}{\partial x^{b}}+\frac{\partial F_{ab}}{\partial x^{c}}=0$. Это уравнение кодирует$\nabla \cdot B=0$и$\nabla \times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$

• Аналогично, на любом векторном расслоении с линейной связностью$(E,\pi,M, \nabla)$, кривизна$R$соединения является$\text{End}(E)$-ценный$2$- форма на$M$, т. е. это морфизм гладкого векторного расслоения$R:\bigwedge^2(TM)\to \text{End}(E)$. Грубо говоря, это говорит о каждом пункте$x\in M$, и каждая пара векторов$h_x,k_x\in T_xM$, мы рассматриваем плоскость/бивектор$h_x\wedge k_x$, и такому бивектору мы имеем эндоморфизм$R(h_x\wedge k_x)\in \text{End}(E_x)$. Я больше объясняю интуицию в этом ответе MSE . Теперь можно также доказать, что$d_{\nabla}R=0$; т. е. внешняя ковариантная производная кривизны обращается в нуль. В компонентах это говорит$\nabla_a(R_{bc})+\nabla_b(R_{ca})+\nabla_c(R_{ab})=0$, что есть не что иное, как дифференциальное тождество Бьянки. В случае, когда$E=TM$— касательное расслоение (очень распространенный частный случай), то описание$R$как$\text{End}(TM)$-ценный$2$- форма на$M$эквивалентно тому, что кривизна есть$(1,3)$-тензорное поле на$M$.

Итак, оба$F,R$с моральной точки зрения являются объектами одного и того же типа (а$2$-форма, единственное отличие состоит в том, что один скалярнозначен, а другой эндоморфизмнозначен), и оба удовлетворяют форме тождества Бьянки ($dF=0$против$d_{\nabla}R=0$). Вот почему вы можете услышать$F$называют искривлением.

Думаю, стоит сказать, что тут в каком-то смысле не очень хороший аналог 1-1:

действие Максвелла пропорционально$F^{ab}F_{ab}$, в то время как, хотя JG прав, что во многих отношениях «аналог» для GR$R_{abcd}$, действие Гильберта пропорционально$g^{ab}R_{ab}$нет$R^{ab}R_{ab}$. Связь с материей происходит через$g^{ab}$срок тоже и не$\Gamma$срок. Общая ковариантность просто делает определение «настоящих» степеней свободы в ОТО намного более сложным, чем в электромагнетизме, и есть просто много терминов, о которых нужно беспокоиться.

С точки зрения расслоения главной группы Ли (G) 2-форма кривизны

$$\textbf{F}=\textbf{dA}+\frac{1}{2}[\textbf{A,A}]$$ соответствующий группе Ли$G=SU(N)$по существу поле Янга-Миллса$F_{\mu\nu}$. Для$G=GL(n;C)$или$GL(n;R)$, компоненты 2-формы кривизны – это компоненты тензора Римана$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$.

Степень свободы распространения гравитационного поля содержится в компонентах кривизны Вейля$C_{\alpha\beta\gamma\delta}$(бесследовая часть тензора Римана) и, следовательно, с точки зрения физики аналог для$F_{ab}$в ОТО можно принять за кривизну Вейля$C_{abcd}$. Есть определенные сходства ч / б тензор Максвелла$F_{ab}$и тензор Вейля$C_{abcd}$:

Оба$F_{ab}$и$C_{abcd}$бесследовые, удовлетворяющие уравнениям без источника$\nabla ^aF_{ab}=0$(Максвелл) и$\nabla ^aC_{abcd}=0$(Эйнштейн). На языке теории представлений можно разложить$F_{ab}$как$(1,0)\oplus (0,1)$неприводимое представление$su(2)_L\times su(2)_R$. Это можно выразить с помощью симметричного спинора$\phi_{AB}$:

$$F_{ab} =F^{+}_{ab}+F^{-}_{ab} \leftrightarrow \phi_{AB}\epsilon_{A'B'}+\bar{\phi}_{A'B'}\epsilon_{AB}$$ Точно так же можно разложить тензор Вейля как$D(2,0)$и$D(0,2)$неприводимое представление$SL(2,C)$: $$C_{abcd}=C^{+}_{abcd}+C^{-}_{abcd}\leftrightarrow \Psi_{ABCD}\epsilon_{A'B'}\epsilon_{C'D'}+c.c.$$ где$\Psi_{ABCD}$(симметричный) — гравитационный спинор. Такое разложение невозможно для тензора Римана. Можно пойти дальше, чтобы определить аналог других физических величин, таких как:

1. Тензор Бел-Робинсона$T_{abcd}=\Psi_{ABCD}\bar{\Psi}_{A'B'C'D'}$как гравитационный аналог тензора энергии свободного электромагнитного напряжения:$T_{ab}=\frac{1}{2\pi}\phi_{AB}\bar{\phi}_{A'B'}$, оба из которых удовлетворяют условию Райнича и «закону сохранения».

2. Электрические и магнитные части$C_{abcd}$можно определить относительно некоторого единичного времениподобного вектора$u^a$:$E_{ab}=C_{abcd}u^cu^d$(электрическая часть) и$H_{ab}=\frac{1}{2}\eta_{ade}{C^{de}}_{bc}u^c$(магнитная часть). Обратите внимание на сходство с электрическим и магнитным векторами в теории Максвелла:$E_a=F_{ab}u^b$,$H_a=\frac{1}{2}\eta_{abc}F^{bc}$.

Я добавлю другую точку зрения, используя тетрадный формализм. Как сказал @JG, символы Кристоффеля примерно аналогичны калибровочному соединению. На самом деле у тетрадного формализма есть более точный аналог: спиновая связь$\omega$. Эта спиновая связь$\mathfrak{spin}(1,3)$оценивается так же, как калибровочное соединение оценивается в некоторой калибровочной группе (например, в КХД$\mathfrak{su}(3)$-значная манометрическая связь). Таким образом, имеется следующая связь:

$$\begin{equation} \omega \in \Omega^1_{\mathfrak{spin}(1,3)}(\mathcal{M}) \equiv\Gamma(\mathfrak{spin}(1,3))\otimes_{\Omega^0(\mathcal{M})}\Omega^1(\mathcal{M})\simeq \Gamma(\mathfrak{spin}(1,3)\otimes \wedge^1 T^\ast \mathcal{M}) \end{equation}$$ Где$\Omega^i(\mathcal{M})\equiv \Gamma(\wedge^i T^\ast \mathcal{M})$. Тогда кривизна спиновой связи, очевидно, определяется как: $$\begin{equation} \Omega^2_{\mathfrak{spin}(1,3)}(\mathcal{M}) \ni \Omega\equiv d_\omega\omega \stackrel{!}{=}d\omega+[\omega \stackrel{\wedge}{,} \omega]_{\mathfrak{spin}(1,3)} \end{equation}$$ Добавление условия отсутствия кручения$d_\omega e=0$, где$e$является тетрадой, можно однозначно определить$\omega$с точки зрения$e$. Конкретно,$\Omega$определяется$e$есть не что иное, как аналог тензора Римана. Но я думаю, что более понятно, почему$\Omega$аналогичен$F$в рамках обычной калибровочной теории, используя тетрадный формализм. У одного есть следующие аналогии: $$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \omega=\omega_\mu^{IJ}\sigma_{IJ}dx^\mu &\longleftrightarrow &A=A_\mu^a \tau^a dx^\mu \\ \Omega= \Omega_{\mu \nu}^{IJ}\sigma_{IJ}dx^\mu \wedge dx^\nu &\longleftrightarrow &F=F_{\mu \nu}^a \tau^a dx^\mu \wedge dx^\nu \end{array} \end{equation}$$ Чтобы вернуться к обычному формализму в ОТО, обычно магнитная часть и электрическая часть кривизны пространства-времени определяются с использованием тензора Вейля, как сказал @KP99. Можно попросить теорию, в которой аналогия сильнее: можно ли определить лагранжеву плотность как сжатие тензора Вейля с самим собой? Ответ: Да, это конформная гравитация , но она строго не эквивалентна действию Эйнштейна-Гильберта.

В калибровочной теории U(1) магнитное и электрическое поля являются калибровочно-инвариантными величинами. Однако в неабелевой калибровочной теории их аналоги не являются калибровочно-инвариантными и, следовательно, не поддаются измерению (за исключением случаев, когда связь стремится к нулю). Единственное, что есть, это скорость настройки, топологический заряд и сам лагранжиан.

Кроме того, я хочу добавить другую перспективу:

В трех измерениях EH-лагранжиан с космологической постоянной может быть выражен, например, в терминах формы Черна-Саймонса SO(4). Из гомологии Флоера следует, что инстантоны Янга-Миллса являются градиентными линиями тока функционала действия Черна-Саймонса на пространстве модулей главных связностей по модулю калибровочного преобразования. Так сказать, они являются путями движения частицы в конфигурационном пространстве и описывают наиболее вероятные пути туннелирования между вакуумами ТС. Если мы рассматриваем пустое динамическое пространство-время как расслоенное многообразие, то оно имеет такие же свойства, как инстантон в теории Янга-Миллса на цилиндре трехмерного многообразия, пересекаемого вещественной прямой. Он интерполирует асимптотически между риччи-плоскими трехмерными пространствами, сжимая и расширяя их. Это математически проявляется, когда трехмерное пространство максимально симметрично и имеет положительную кривизну. Во временной калибровке интерпретация магнитного и электрического поля становится очевидной проще всего: тогда магнитное поле представляет собой по существу постоянную положительную скалярную кривизну трехмерного многообразия, тогда как электрическое поле действует как вектор скорости пути, описываемого инстантоном. С этой точки зрения лагранжиан YM представляет собой скалярную кривизну расслоенного четырехмерного многообразия вместе с граничным членом GHY. Она обращается в нуль для инстантона в случае SO(4) подобно тому, как гравитационный инстантон может характеризоваться нулевой кривизной 4-Риччи. Тогда магнитное поле представляет собой по существу постоянную положительную скалярную кривизну трехмерного многообразия, тогда как электрическое поле действует как вектор скорости пути, описываемого инстантоном. С этой точки зрения лагранжиан YM представляет собой скалярную кривизну расслоенного четырехмерного многообразия вместе с граничным членом GHY. Она обращается в нуль для инстантона в случае SO(4) подобно тому, как гравитационный инстантон может характеризоваться нулевой кривизной 4-Риччи. Тогда магнитное поле представляет собой по существу постоянную положительную скалярную кривизну трехмерного многообразия, тогда как электрическое поле действует как вектор скорости пути, описываемого инстантоном. С этой точки зрения лагранжиан YM представляет собой скалярную кривизну расслоенного четырехмерного многообразия вместе с граничным членом GHY. Она обращается в нуль для инстантона в случае SO(4) подобно тому, как гравитационный инстантон может характеризоваться нулевой кривизной 4-Риччи.