Однородные уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм

  1. Я понимаю, что если я определяю электрическое поле как Е "=" Е я г Икс я , магнитное поле должно быть Б "=" Б 1 г Икс 2 ∧ г Икс 3 + Б 2 г Икс 3 ∧ г Икс 1 + Б 3 г Икс 1 ∧ г Икс 2 , а напряженность поля должна быть Ф "=" г Икс 0 ∧ Е + Б , я бы получил два однородных уравнения Максвелла из г Ф "=" 0 . Последнее уравнение является нетривиальным уравнением.

  2. Однако я где-то читал, что если я определяю векторный потенциал как одну форму А "=" А мю г Икс мю , а напряженность поля должна быть Ф "=" г А Я бы получил два однородных уравнения Максвелла.

Мои вопросы:

  1. Во-первых, с этим вторым определением уравнение г Ф "=" 0 тривиально верно, поскольку г 2 "=" 0 и я не понимаю, как это даст мне что-то нетривиальное.

  2. Во-вторых, из второго определения, если я напишу Ф в компонентах я бы [*]:

    Ф "=" г А "=" ∂ β А мю г Икс β ∧ г Икс мю "=" ∂ 0 А я г Икс 0 ∧ г Икс я + ∂ я А 0 г Икс я ∧ г Икс 0 + ∂ Дж А я г Икс Дж ∧ г Икс я "=" ∂ 0 А я г Икс 0 ∧ г Икс я + Икс 0 ∧ Е + Б
    у которого есть первый термин, дополнительный по сравнению с первым определением, и у меня нет никаких причин, по которым этот термин равен нулю. Итак, что мне здесь не хватает? Какой из двух вышеперечисленных подходов правильный?

[*] Я использую греческие буквы super/subscripts для 4 компонентов пространства-времени и маленькие английские буквы для 3 компонентов пространства.

@ 0celo7 Но разве это не дает неоднородных уравнений? Что с исходным термином г ⋆ Ф "=" Дж .
Если вы используете магнитные заряды и электрические заряды, уравнение Максвелла превращается в г Ф "=" Дж м и г ⋆ Ф "=" Дж е . Обратите внимание, что Ф А "=" г А только если у вас есть глобально определенный электромагнитный потенциал. В общем, физики работают со сжимаемым многообразием и добавляют к нему магнитные заряды (распределительные 3-формы). Это эквивалентно работе в коллекторе с удаленной опорой магнитных зарядов.
Что касается ваших вычислений, вы должны включить дополнительный член в составляющую электрического поля.

Ответы (1)

  1. Да, написано в терминах калибровочного потенциала А мю , уравнения Максвелла без источника удовлетворяются тривиально.

  2. Кажется, OP использует электростатическое определение Е я . В полном электромагнетизме, помимо ∂ я А 0 срок, также существует ∂ 0 А я термин в определении Е я .

См. также, например, мой ответ Phys.SE здесь .

Однородные уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v