Внешние (ковариантные) производные и электромагнетизм

Question

Внешние (ковариантные) производные и электромагнетизм

пользователь2275987

Я переношу уравнения Максвелла в искривленное пространство-время , и у меня возникают проблемы с согласованием обработки тензора и формы. Я думаю, что проблема сводится к неправильному пониманию с моей стороны относительно внешней ковариантной производной, а не просто внешней производной, но это только предположение. Итак, в пространстве-времени Минковского мы имеем

Ф_{мю ν} "=" А_{ν, мю} - А_{мю, ν}, Ф_{[мю ν, κ]} "=" 0

$F_{\mu \nu} = A_{\nu,\mu}-A_{\mu,\nu}\text{, }F_{[\mu \nu , \kappa]}=0$

и

Ф "=" д А, д Ф "=" 0,

$F=\text{d}A\text{, }\text{d}F=0,$

эквивалентность которых легко показать. Однако предположим, что мы работаем в искривленном пространстве-времени. Мы получаем

Ф_{мю ν} "=" А_{ν; мю} - А_{мю; ν}, Ф_{[мю ν; κ]} "=" 0.

$F_{\mu \nu} = A_{\nu;\mu}-A_{\mu;\nu}\text{, }F_{[\mu \nu ; \kappa]}=0.$

Однако коэффициенты связи в ковариантных производных аккуратно сокращаются, поэтому оба тензорных выражения эквивалентны друг другу. Однако предположим, что мы пытаемся перенести выражение форм плоского пространства в искривленное пространство-время, превратив внешнюю производную во внешнюю ковариантную производную. Мы начинаем с

Ф "=" д_{Д} А

$F = \text{d}_DA$

а потом (наивно?) найти

д_{Д} Ф "=" д_{Д} д_{Д} А "=" Ом \land А \neq 0

$\text{d}_DF =\text{d}_D \text{d}_D A = \Omega \wedge A \neq 0$

где $\Omega$ является 2-формой кривизны. Таким образом, тензорные и формальные методы неожиданно дают разные версии законов Максвелла. Не обязательно ли в этой ситуации использовать ковариантную внешнюю производную? Может быть, я что-то серьезно упускаю, но похоже, что внешняя ковариантная производная упоминается гораздо меньше, чем следовало бы в теории относительности, если вообще требуется развертывание форм на искривленных многообразиях! Звезда Ходжа, конечно, содержит информацию о метрике, но здесь кажется, что мы приходим к несоответствию, прежде чем нам нужно будет вызвать ее, чтобы найти два других уравнения Максвелла.

Спасибо за любое понимание.

Ответы (2)

Внешние (ковариантные) производные и электромагнетизм

Стэн Лю · Answer 1

На языке дифференциальных форм уравнения Максвелла-Лоренца просто

\begin{array}{rcl} д ⋆ Ф "=" Дж / λ_{0} & , & д Ф "=" 0, \end{array}

$\begin{eqnarray*}\mathrm{d}\!\star\!F = J/\lambda_0 &\text{,}\quad&\mathrm{d}F = 0\text{,}\end{eqnarray*}$ где

1 / λ_{0}

$1/\lambda_0$ представляет собой характеристический импеданс свободного пространства и может быть зафиксирован на

1

$1$ в соответствующих единицах.

С этой точки зрения, все, что вам нужно, чтобы «перейти» к искривленному пространству-времени, — это осознать, что единственное место, где возникает метрика, — это двойственный оператор Ходжа. $\star$ .

Это то, чего я ожидал изначально, но меня напугало существование внешней ковариантной производной — я не могу понять, зачем она нужна, если внешняя производная уже ведет себя геометрически.

Как уже было сказано, дифференциальная структура не заботится ни о метрике, ни о многообразии-связности, а значит, и о кривизне. Это просто вопрос того, как они определены, и, следовательно, искривленное пространство-время не будет заботиться о внешней производной, а будет иметь только другую двойственность Ходжа.

Однако есть неформальный способ мотивировать это по аналогии, о чем, как я понимаю, вы просите (это неясно, поэтому я предполагаю). Напомним, что понятие ковариантной производной для скалярных полей особенно тривиально и не зависит от кривизны:

\nabla_{ты} ф "=" {ты}^{мю} ф_{, мю} .

$\nabla_u \phi = u^\mu\phi_{,\mu}\text{.}$ То же самое происходит с ковариантной внешней производной. Напомним

k

$k$ -формы - определенные типы карт в виде

ю_{п} : (Т_{п} М)^{к} \to р,

$\omega_p: (T_pM)^k\to\mathbb{R}\text{,}$ и, следовательно, имеют скалярное значение .

С другой стороны, можно рассмотреть своего рода обобщенную форму, которая принимает значения в некотором векторном расслоении над многообразием, и попытаться получить «внешнюю производную» с $\mathrm{d}$ действующий на каждую компоненту в произвольном базисе. Обычно это не работает без соединения с этим векторным расслоением, за заметным исключением, когда взятые значения на самом деле являются скалярами, поскольку тогда все возможные основания для этого $1$ -мерное векторное пространство просто пропорциональны друг другу.

Короче говоря, внешняя производная имеет смысл независимо от кривизны, а ковариантная внешняя производная не делает ничего интересного для обычных скалярнозначных форм.

Лайонелбритс · Answer 2

Лайонелбритс

Исчисление форм уже хорошо определено на искривленных многообразиях, поэтому вы можете использовать $d$ с места в карьер.

пользователь2275987

Это то, чего я ожидал изначально, но меня напугало существование внешней ковариантной производной — я не могу понять, зачем она нужна, если внешняя производная уже ведет себя геометрически.

Стэн Лю

@ user2275987: он не ведет себя геометрически. Дифференцируемая структура является (алгебраически) топологической. Это определимо независимо от кривизны.

Внешние (ковариантные) производные и электромагнетизм

пользователь2275987

Ответы (2)

Стэн Лю

Лайонелбритс

пользователь2275987

Стэн Лю

Каковы аналоги FμνFμνF_{\mu\nu} в общей теории относительности?

Метрика следования за пространством-временем и показатель преломления

Уравнение Максвелла в искривленном пространстве-времени — как получилось? А экспериментальные доказательства?

Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Почему кривизна и напряженность поля совпадают?

Общая теория относительности без кривизны?

Использование частных производных для уравнений Максвелла в искривленном пространстве-времени

Почему тензор Риччи определяется как RμνμσRνμσμR^\mu _{\nu \mu \sigma}?

Доказательство постоянной кривизны

Что такое тензор энергии напряжения?