Каковы приложения потенциалов дельта-функции?

Существуют ли реальные приложения для использования потенциала дельта-функции в квантовой механике (кроме использования его в качестве точно решаемой игрушечной модели во вводных учебниках по квантовой механике для студентов)?

Любое приложение в реальной жизни будет приблизительным... учитывая это, дельта -функции появятся, когда частица застрянет в ящике (например)
Погуглив, я нашел этот пример

Ответы (2)

Лучший пример, который я могу придумать, — это моделирование кристалла с помощью серии равноотстоящих дельта-функций . Этот набор разнесенных дельта-функций называется дельта-гребенкой и имеет несколько приложений не только в квантовой механике :-).

Есть много приложений, хотя вы склонны видеть их несколько замаскированными.

  • Нелинейное уравнение Шрёдингера в 1d: это квантовая теория поля, описывающая газ частиц, взаимодействующих друг с другом дельта-потенциалами. Это как теоретически важная модель, поскольку она решаема с помощью Бете-Анзаца, так и экспериментально используемая для моделирования некоторых оптических систем.
  • Релятивистский квант ф 4 модель: в нерелятивистском пределе это нелинейное уравнение Шредингера, поэтому оно ближе всего к релятивистскому газу частиц с дельта-отталкиванием. Изучение N-копий этой версии расскажет вам о статистике самоизбегающих случайных блужданий в 2d и 3d, и это можно рассматривать как путь с бесконечным дельта-функцией отталкивания к себе и к другим путям того же самого. тип. Анализ этой модели и ее связи с самоизбеганием полимера приписывается де Женнесу.

Таким образом, бозон Хиггса можно рассматривать как имеющий дельта-функцию отталкивания от других бозонов Хиггса в стандартной модели или ближайший релятивистский аналог. В дополнение к этому имеется простой результат универсальности

  • Рассеяние любого локализованного потенциала в 1d асимптотно рассеянию от дельта-потенциала для длинных волн.

Это также верно и в более высоких измерениях, если они соответствующим образом квалифицированы. В 2d и выше есть дополнительный масштабный коэффициент, который говорит вам, что рассеяние затухает на длинных волнах. Вы можете думать об этом как о вероятности того, что интеграл случайного блуждания по путям найдет область взаимодействия. Затухание имеет множитель, аналогичный времени повторения случайного блуждания, логарифмический по |k| (для малых |k|) 2d и степенью k в более высоких измерениях. Это означает, что это полезная игрушечная модель для перенормировки.

По этой причине дельта-потенциал специфичен для 1d. Если вы попытаетесь определить дельта-потенциал более высокого измерения, вам нужно перенормировать коэффициент в пределе дельта-функции, чтобы получить фиксированную энергию основного состояния, и действительно, в 3D и выше у вас нет разумного основного состояния. Вы можете увидеть это, решив обратную задачу: начните с (реально положительного) анзаца основного состояния.

ψ 0 ( Икс ) "=" е − Вт

и найти потенциал, который делает W основным состоянием:

В ( Икс ) "=" 1 2 | ∇ Вт | 2 + 1 2 ∇ 2 Вт

В 1d вы можете видеть, что создание Вт "=" | Икс | дает дельта-функцию (из второго члена). В более высоких измерениях вы получаете силу Кулона из того же анзаца. Таким образом, дельта-колодец является одномерным аналогом кулоновской скважины.

Даже только для 1d вы можете использовать дельта-колодец для описания поверхностного связывающего потенциала, поскольку движение в перпендикулярном направлении ограничено. Это очень важная модель, так как это универсальный точечный предел.

Хорошо, так что 1-е 2 пункта выглядят как приложения для конденсированных сред, не могли бы вы предоставить некоторые ссылки? Также я не получил часть о бозоне Хиггса (ссылка здесь была бы в порядке). Спасибо.
@Revo: бозон Хиггса является самодействующим квартиком, поэтому он испытывает отталкивание дельта-функции от других бозонов Хиггса. Я не думаю, что есть ссылка, я сделал пример, чтобы ответить на ваш вопрос. Я стараюсь делать только утверждения, которых нет в ссылках (или, по крайней мере, редко можно найти в ссылках). Отличным справочником по нелинейному уравнению Шредингера является «Квантовый метод обратного рассеяния и корреляционные функции» Корепина/Боголюбова/Изергина.
Каковы приложения потенциалов дельта-функции?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v