Закон дисперсии вблизи зон Бриллюэна - Периодические потенциалы

Пытаюсь разобраться в периодических потенциалах и слабых периодических потенциалах из схем редуцированных зон. Из определения ψ к :

ψ к ( Икс ) "=" ∑ г С к − г е я ( к − г ) Икс

я понимаю как ψ к "=" ψ к + н г когда г — наименьший вектор обратной решетки. Поскольку сумма бесконечна, простая перемаркировка демонстрирует периодичность волновой функции в к − с п а с е и поэтому мы видим, что та же периодичность переносится на соотношение дисперсии энергии Е к "=" Е к + н г . Но если это так, то любой волновой вектор, отличающийся только вектором обратной решетки (будь то + г , + 2 г , + 3 г и т.д.) то энергия будет одинаковая! Таким образом, независимо от того, какой волновой вектор, будут бесконечные блоховские функции с одной и той же энергией, и волновая функция должна быть суперпозицией каждой из них. В свободном электроне волновая функция должна быть:

ψ "=" ∑ н е я ( к + н г ) Икс

так что граница зоны Бриллюэна ничего особенного не несет... Я знаю, что это неправда, но вся концепция полос, периодичности в k-пространстве и периодических дисперсионных соотношений меня убивает, я не могу понять, что такого особенного в границы зон, чтобы не учитывать другие члены в суперпозиции. Пожалуйста, просто оставайтесь в одном измерении, это и так сложно.

Дополнительно: это препятствие исходно возникло из проблемы в Oxford Solid State Basics , где его просят объяснить, почему волновая функция на 1-й границе BZ должна быть:

| ψ ⟩ "=" А | к ⟩ + Б | к + г ⟩

Я понятия не имею, почему это так только на границе зоны, а не на всех волновых векторах. к так как закон дисперсии периодический.

Почему Е к "=" Е к + н г ? Я что-то пропустил?
Поскольку волновые функции одинаковы, то и собственные значения одинаковы, т. е. энергии

Ответы (2)

Состояния, отличающиеся вектором обратной решетки, являются одним и тем же состоянием (т. е. не разными состояниями с одинаковой энергией). Это часть утверждения теоремы Блоха.

Этот факт часто используется для различных уловок при отображении и обсуждении зоны Бриллюэна, которую иногда считают «растянутой», а иногда «наматывают» на интервал [ − г / 2 , г / 2 ] . Проблема, указанная в вопросе, касается именно этого случая: в центре зоны Бриллюэна состояния можно считать плосковолновыми, т. е. можно пренебречь существованием периодического потенциала. Оборачивая плоские волны спектром

ϵ ( к ) "=" ℏ 2 к 2 2 м , к е [ − ∞ , + ∞ ]
к первой зоне Бриллюэна получаем ряд полос
ϵ н ( к ) "=" ℏ 2 ( к + н г ) 2 2 м , к е [ − г 2 , + г 2 ] , н "=" 0 , ± 1 , ± 2 , . . . .
На краях зоны Бриллюэна существованием периодического потенциала нельзя пренебречь, так как пары полос имеют примерно одинаковую энергию, например, для к "=" г / 2 − д , где 0 < д ≪ г / 2 :
ϵ н ( г 2 − д ) "=" ϵ ( г 2 − д + н г ) ≈ ϵ ( г 2 + д + н г ) "=" ϵ ( − г 2 − д − н г ) "=" ϵ ( г 2 − д − ( н + 1 ) г ) "=" ϵ − ( н + 1 ) ( г 2 − д ) ,
то есть
ϵ н ( к ) ≈ ϵ − н ( к − г ) "=" ϵ − ( н + 1 ) ( к ) .
Это близкое к вырождению затем разрешается с помощью теории вырожденных возмущений, т.е. решения точно для вырожденной пары состояний, которые в данном случае равны | к + н г ⟩ и | к − ( н + 1 ) г ⟩ . (Моя запись может отличаться от той, что в задаче, так что вам придется разобраться самостоятельно.)

Ответ довольно хороший, и он очень помог, но я до сих пор чего-то не понимаю: поскольку энергетический спектр имеет квадратичную форму, всегда есть двойное вырождение (в 1dim) Е к "=" Е − к почему мы не учитываем это в теории возмущений?
Я не понимаю, почему вблизи центра ЗБ состояния волнообразны и периодическим потенциалом можно пренебречь...
РЕДАКТИРОВАТЬ: я думаю, что понял! Периодический потенциал действует только на узлы обратной решетки, поэтому, если к находится далеко от любого г то влиянием потенциала пренебрегают. Но у меня все же есть сомнение: не должна ли волновая функция быть вообще ψ "=" А е я к Икс + Б е − я к Икс для к в центре БЖ?
Состояния волнообразны вблизи центра BZ, потому что это приближение почти свободных электронов. Противоположным пределом является приближение сильной связи , где состояния локализованы на атомах и между ними есть слабые прыжки.
В общем, у вас есть блочные волновые функции с ± к , чтобы вы могли формировать из них комбинации синус/косинус. В настоящих кристаллах все сложнее. Вы можете поискать хорошую книгу по физике твердого тела, такую ​​как Ashcroft-Mermin или Kittel.
Я следую за Эшкрофтом, но это оказалось довольно сложно
У Киттеля их два: сверхлегкий и сверхсложный.
У Киттеля 2 книги? Я следую "Введению в физику твердого тела"
Могу ошибаться... Честно говоря, мои учебники были на русском языке, так что я никогда не был уверен в их происхождении - среди известных был и Ансельмовский.
Кстати, могу я просто спросить, получаем ли мы какую-либо полезную информацию, глядя на преобразование Фурье, а не на ряд периодического потенциала? Это будет просто куча битов Дирака, которые говорят нам, «где» в обратном пространстве он действует ... или нет?
Не уверен, что вы имеете в виду - потенциал непрерывен, но мы смотрим на его преобразование Фурье, когда вычисляем матричный элемент между плоскими волнами.

Судя по вашему комментарию, это не так. Для невзаимодействующих электронов в модели желе ЧАС Дж е л "=" Т Дж е л ( К . Е . ) . Поэтому,

ЧАС Дж е л ψ к → , о "=" ℏ 2 к → 2 2 м ψ к → , о
ψ к → , о "=" 1 В е я к → ⋅ р → х о
Итак, можно видеть, что собственное значение не является периодическим. Следовательно, вы не можете сказать Е к "=" Е к + н г поскольку природа энергии квадратична.

Но разве аргумент, который я привел, не подразумевает этот ответ? физика.stackexchange.com/a/243793/181235
Неплохо подмечено. Из ответа, который я прочитал, несомненно, что отношение дисперсии является периодическим, и именно поэтому у нас есть разные миллиардные зоны, которые похожи друг на друга из-за периодической природы. Однако говоря, что абсолютный Е к "=" Е к + н г немного двусмысленно. Вы можете заметить, что если это произойдет, мы можем периодически рисовать дисперсионное соотношение, как цепочку, но это не так. Надеюсь, вы видите расхождение с собственным значением энергии.
Закон дисперсии вблизи зон Бриллюэна - Периодические потенциалы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v