Моделирование эволюции волнового пакета через кристаллическую решетку

Меня интересует моделирование эволюции электронного волнового пакета через кристаллическую решетку, не обладающую идеальной трансляционной симметрией. В частности, в приведенном ниже гамильтониане частота каждого сайта ю н не является постоянным.

Предположим, что решетка задана некоторым гамильтонианом сильной связи

ЧАС "=" ∑ н ю н а н † а н + т ∑ < н > а н † а н + 1 + все взаимодействия с ближайшими соседями + hc .
Подготовим волновой пакет и для простоты выразим волновой пакет в фоковском базисе каждого узла решетки
| ψ ⟩ "=" ∑ я | б 1 ⟩ | б 2 ⟩ … | б н ⟩ .
Таким образом, есть б 1 электроны в 1 ст решетка сайта. Конечно, электроны — это фермионы. б 1 может быть либо 0 или 1 .

Предположим, мы рассматриваем эту проблему чисто квантово-механически. Затем нам нужно будет подготовить вектор длины 2 н , который вычислительно неразрешим для любого значительного н .

Меня интересуют физические методы, которые можно использовать для упрощения этой задачи. Можно ли попытаться решить задачу полуклассическим способом?

Наш FAQ фактически дезавуирует вычислительные вопросы. С вашего разрешения я перенесу это на новый бета-сайт Scientific Computation . Конечно, вы можете спросить здесь о физике , несмотря на то, что вы планируете вычислительную атаку, но это, похоже, вопрос реализации. Или я ошибся в ваших намерениях?
Меня больше интересуют физические методы, которые можно использовать для упрощения задачи и, следовательно, сделать ее жизнеспособной с точки зрения вычислений. Как мы знаем, квантово-механическое моделирование на классических компьютерах часто трудно поддается обработке, поскольку требуемые вычислительные шаги экспоненциально возрастают с увеличением степени свободы в системе.
В конце концов, я хотел бы численно шагнуть по времени через какое-то дифференциальное уравнение. Вопрос в том , какое дифференциальное уравнение я решаю!
А... спасибо за разъяснение. Это, безусловно, должно оставаться здесь.
@flamearchon Для точного метода вы либо используете собственное значение, либо прямую эволюцию, и у вас нет симметрии в гамильтониане. Другой метод должен быть только приблизительным. Если вы получите ответ, пожалуйста, напишите здесь.
@hwlau Я не уверен, как использовать полуклассическое приближение для моделирования динамики этой системы. Есть ли у вас какие-либо предложения или литература, на которую вы могли бы мне указать? Спасибо.
@flamearchon Нет, не знаю, поэтому я и спрашиваю тебя об этом. Если существует трансляционная симметрия, мы можем использовать О ( 2 н / н ) вместо. Обычно я вижу, что люди предпочитают (вероятно, моя предвзятость) использовать точный численный метод (не эта проблема, я имею в виду вообще). Для вашей проблемы, вероятно, может быть приближение, которого я не знаю.
Если вы действительно хотите знать ответ, я могу назначить за него небольшую награду.
@hwlau Я моделирую решетки с количеством узлов порядка 10 3 . Подготовка гильбертова пространства порядка О ( 2 н ) все еще слишком велико.
У @hwlau Ashcroft & Mermin есть глава о полуклассических методах. Однако представленные уравнения имеют дело с эволюцией волнового пакета во внешних полях, что не совсем моя проблема. Возможно, можно иметь дело с различными ж н как дефект с использованием теории возмущений? Небольшая награда будет оценена по достоинству. Заранее спасибо.
@flamearchon Мне немного интересно посмотреть, есть ли более общая техника, которую я могу изучить.
Думали ли вы об использовании численных алгоритмов, таких как tDMRG , TEBD ?
@Tarek: не могли бы вы написать краткий ответ с описанием метода и преимущества?
@hwlau Я не являюсь экспертом ни в одном из них. Для достаточно малых систем достаточно прямой эволюции с помощью простого алгоритма Рунге-Кутты 4-го порядка. Это равносильно использованию усеченного разложения Тейлора оператора временной эволюции. Гамильтониан представляется в виде разреженной матрицы.

Ответы (1)

При использовании гамильтониана сильной связи целесообразно исходить не из квазиклассического, а из одночастичного приближения. В этом случае у вас есть амплитуда (комплексное число) на каждом участке, состояние представляет собой комплексный вектор длины н , гамильтониан н × н (разреженная) матрица и проблема временной эволюции и/или собственных состояний (для состояния одной частицы) разрешима для относительно больших решеток.

Если вас интересует физика многих частиц, вы можете построить модель поверх этих одночастичных состояний. Детали зависят от того, что именно вы хотите вычислить.

К сожалению, я не знаю ссылки со строгим переходом от одной формулировки к другой.

Да, обычно мы не хотим получать точную волновую функцию. Я думаю, что энергию основного состояния обычно нужно вычислять. У вас есть идеи, как это сделать с некоторым приближением?
Моделирование эволюции волнового пакета через кристаллическую решетку
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v